Ableitung einer n-ten Wurzel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
[mm] $f(x)=\wurzel[n]{\bruch{x}{\ln x}}$ $(n\in\IN, n\ge2, [/mm] x>1)$ |
Hallo.
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
So gehe ich vor:
[mm] $f(x)=\wurzel[n]{\bruch{x}{\ln x}}=\left( \bruch{x}{\ln x} \right)^{\bruch{1}{n}}=e^{\bruch{1}{n}*\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)}$
[/mm]
Dann verwende ich die Kettenregel:
[mm] $\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{g(x)}*g'(x)$
[/mm]
[mm] $\left[ e^{g(x)} \right]'=e^{\bruch{1}{n}*\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)}*g'(x)$
[/mm]
Anschließend versuche ich $g(x)$ abzuleiten und genau hier beginnen die Probleme.
Ist der Term [mm] $\bruch{1}{n}*\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)$ [/mm] nun mit der Produktregel (mit anschließender Verwendung der Quotientenregel) zu bearbeiten, oder ist es besser, den Term so umzuformen [mm] $\bruch{\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)}{n}$, [/mm] damit man gleich mit der Quotientenregel vorgehen kann?
Ich habe nämlich beides versucht und "verlaufe" mich dann.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 30.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Anschließend versuche ich [mm]g(x)[/mm] abzuleiten und genau hier
> beginnen die Probleme.
> Ist der Term [mm]\bruch{1}{n}*\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)[/mm]
> nun mit der Produktregel (mit anschließender Verwendung
> der Quotientenregel) zu bearbeiten, oder ist es besser, den
> Term so umzuformen [mm]\bruch{\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)}{n}[/mm],
> damit man gleich mit der Quotientenregel vorgehen kann?
>
> Ich habe nämlich beides versucht und "verlaufe" mich
> dann.
Du leitest doch nach x ab, wenn ich mich jetzt nicht irre.
Demnach ist das einfach nur ein konstanter Faktor. 
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Danke, MaRaQ, aber was genau meinst Du damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Di 30.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Vielleicht habe ich deine Frage ja falsch verstanden, aber du hast doch die Funktion g(x):
[mm] g(x) = \bruch{1}{n}\cdot{}\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right) [/mm]
Wenn du die nach x ableitest, bleibt das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als konstanter Faktor stehen.
Nix anders als
f(x) = c [mm] \cdot [/mm] x²
f'(x) = c [mm] \cdot (x^2)' [/mm] = c [mm] \cdot [/mm] 2x
Du hast trotzdem noch eine Menge zu tun, denn
[mm]\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)'[/mm]
ist auch noch recht ordentlich.
Kettenregel [mm]u(v(x)) = u'(v(x)) \cdot v'(x)[/mm] und Quotientenregel (für v'(x) ) sollten das aber machbar gestalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 30.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke, MaRaQ, jetzt habe ich kapiert, was Du meinst. Denke jetzt bin ich auf dem richtigen Weg und ich sollte die Aufgabe lösen können.
So einen ähnlichen Fall ("konstanter Faktor") hatte ich vor kurzem in einer anderen Aufgabe und trotzdem bin ich erneut in die Falle getappt... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ein Danke auch an Steffi für den alternativen Weg. Ich bin aber doch "meinen" Weg gegangen:
$g(x)=\bruch{1}{n}*\ln \left( \bruch{x}{\ln x} \right)$
$g'(x)=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln x}}*\bruch{\ln x-x*\bruch{1}{x}}{(\ln x)^{2}}$ (*)
$=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln x}}*\bruch{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}$
$=\bruch{1}{n}*\bruch{\ln x-1}{\bruch{x*(\ln x)^{2}}{\ln x}}$
$=\bruch{1}{n}*\bruch{\ln x-1}{x*\ln x}$
Nach entsprechender Umformung:
$f'(x)=\bruch{1}{n}*\wurzel[n]{\bruch{x}{\ln x}}*\bruch{\ln x-1}{x*\ln x}$ q.e.d.
Zur Zeile mit dem (*) habe ich noch eine Frage.
Was wäre gewesen, wenn es so geheißen hätte:
$g(x)=\bruch{1}{n}\cdot{}\ln \left( \bruch{x}{\ln (x^{3}+1) \right)$
Wäre dann
$g'(x)=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln (x^{3}+1)}}*\bruch{\ln (x^{3}+1)-x*\bruch{1}{(x^{3}+1)}*2x^{2}}{(\ln (x^{3}+1))^{2}$
oder das hier
$g'(x)=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln (x^{3}+1)}}*\bruch{\ln (x^{3}+1)-x*\bruch{1}{(x^{3}+1)}}{(\ln (x^{3}+1))^{2}$
korrekt?
Nachdem was ich gelernt habe, muss es der erste Weg sein, ich möchte aber auf Nummer sicher gehen, dass ich es auch wirklich verstanden habe.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hi,
weder noch, wobei der erste Ausdruck "richtiger" ist
[mm]g(x)=\bruch{1}{n}\cdot{}\ln \left( \bruch{x}{\ln (x^{3}+1) \right)[/mm]
[mm]g'(x)=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln (x^{3}+1)}}*\bruch{\ln (x^{3}+1)-x*\bruch{1}{(x^{3}+1)}*3x^{2}}{(\ln (x^{3}+1))^{2}[/mm]
>
> oder das hier
>
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\bruch{x}{\ln (x^{3}+1)}}*\bruch{\ln (x^{3}+1)-x*\bruch{1}{(x^{3}+1)}}{(\ln (x^{3}+1))^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die innere Ableitung muss mit ran, also der Weg oben, vielleicht war das auch nur ein Schreibfehler mit der 2 statt der 3
Gruss Christian
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Hallo
du hast [mm] (....)^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
äußere Ableitung [mm] \bruch{1}{n}*(....)^{\bruch{1}{n}-1}
[/mm]
innere Ableitung, Ableitung von [mm] \bruch{x}{ln(x)} [/mm] ist [mm] \bruch{ln(x)-1}{(ln(x))^{2}}
[/mm]
Steffi
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Hallo el_grecco!
Du kannst es Dir noch ein wenig vereinfachen, wenn Du vor dem Ableiten erst umformst.
Es gilt mit einem  Logarithmusgesetz:
[mm] $$\ln\left[\bruch{x}{\ln (x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)-\ln\left[\ln(x)\right]$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 30.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Ein großes Danke an alle.
Das mit der 2 statt der 3 war ein Schreibfehler...
Gruß
el_grecco
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