Ableitung im R³ < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | F: [mm] \IR [/mm] x [mm] (\IR [/mm] \ {0}) --> [mm] \IR [/mm] mit
F(x,z) := sin [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2*z)}{ds}
[/mm]
(a) Ableitung berechnen
(b) is F stetig auf ganz RxR fortsetzbar? |
| Aufgabe 2 | F: [mm] \IR^3 [/mm] --> [mm] \IR^2 [/mm] mit
F(x,y,z) := [mm] (x^2*sin(y), z^2-x^2)
[/mm]
(a) Ableitung und Rang berechnen
(b) In welchen Punkten des [mm] \IR^3 [/mm] ist der Satz über implizite Funktionen anwendbar?
(c) Geben Sie in einer Umgebung des Punktes (1,0,1) explizit eine Paramtrisierung von [mm] F^{-1}(0,0) [/mm] an |
Hallo,
zu (1)
(a) schon bei der Berechnung der Ableiung bin ich auf ein doch nicht ganz so kleines Hinderniss gestoßen. Ich wollte das Integral bestimmen, zumindest geh ich davon aus, dass ich das brauche um die Ableitung korrekt aufstellen zu können, aber mit dem [mm] e^{-s^2z} [/mm] hab ich doch so meine Probleme. Ich habe versuch -s² zu substituieren, aber das führt nicht zum Ziel. Geht es über partielle Integration? Bzw. muss ich das Integral denn wirklich bestimmen?
zu (2)
(a) Ich habe jetzt erstmal die Ableitung bestimmt und komme auf
[mm] F_x(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{2xsin(y) \\ -2x}, F_y(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{x^2cos(y) \\ 0} F_z(x,y,z) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2z }
[/mm]
somit f(x,y,z) = [mm] \vektor{2xsin(y) + x^2cos(y) \\ -2x + 2z }
[/mm]
Ich habs nicht berechnet, aber der Rang müsste bei 2 liegen. Ist das bis hierher erstmal richtig?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du musst und kannst das Integral nicht bestimmen. Für das differenzieren nach z produktregel, für die nach x Produkt und Kettenregel.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu leduart:
[mm] $\bruch{d}{dz}\integral_{1}^{1+x^2}{e^{-s^2z} ds}= \integral_{1}^{1+x^2}{\bruch{d}{dz}e^{-s^2z} ds}$
[/mm]
FRED
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Danke für eure Hilfe, leider Stoß ich immernoch auf paar Hindernisse.
Ich hab also versucht die Ableitungen zu bilden
[mm] F_x= \bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}\bruch{d}{dx}{ds} [/mm] * cos [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})
[/mm]
[mm] F_z= [-\bruch{1}{z^2}*\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}+ \bruch{1}{z}*\integral_{1}^{x^2+1}-s^2e^{-s^2\cdot{}z}{ds}]*cos(\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})
[/mm]
Sieht lang ist, und somit hab ich schon die Befürchtung das nen Fehler drin ist. Vorallem weiß ich nicht, was ich mit dem Ausdruck : [mm] \integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}\bruch{d}{dx}{ds} [/mm] anstelle, wie kann ich den denn nach x ableiten?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Ableitung nach x hast Du ja völlig vermurkst !!
Stell Dir vor die Funktion u ist stetig und
$U(x,z):= \integral_{1}^{1+x^2}{u(s,z)} ds}$
Weiter sei $V(t,z):= \integral_{1}^{t}{u(s,z)} ds}$
Somit ist U(x,z)=V(1+x^2,z)
Berechne mal mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Ableitung V_t
Dann berechnest Du mit der Kettenregel die Ableitung U_x
FRED
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Tut mir leid, ich kann momentan die Aufgabe nicht weiterlösen, hab Morgen erst die 1. Vorlesung dazu, vllt gehts dann ja besser.
Könnten mir dann eventuell Jemand sagen, ob mein Ansatz bzw. Lösung bei der (2) wenigstens richtig ist?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. woher kommt denn der cos bei der Ableitung nach z her ?
2. wenn [mm]F(x)=\integral_{a}^{x}{f(s) ds}[/mm], dann folgt doch F'(x)=f(x) Haupsatz der Integralrechng.
wenn da jetzt F(x)=[mm]\integral_{a}^{g(x)}{f(s) ds}[/mm] steht, muss man noch die Kettenregel anwenden: also F'(x)=F'(g(x))*g'(x)
wenn jetz noch F(x)=h(x)*[mm]\integral_{a}^{x}{f(s) ds}[/mm] brauchst du noch die Produktregel.
Gruss leduart
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Okay, auch die Vorlesung hat mir nicht weitergeholfen für meine Aufgaben...
Ich habe jetzt noch mal versucht eure Hinweise auf die meine Aufgabe anzuwenden und habe auch ein Ergebnis. Aber obs richtig ist..
Zu (1)
Ich habe nach x abgeleitet. Zuvor für s noch [mm] (x^2+1) [/mm] eingesetzt und komme somit auf:
[mm] -4(x^3+x)e^{-(x^2+1)^2 z}*cos(\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})
[/mm]
Hab also die äußere Ableitung, das ist mein cos, und das andere ist hoffentlich meine Ableitung mit Hilfe des Hauptsatzes..
Stimmt das? Oder wieder Quatsch?
Zu (2)
(a) also ich denke mein f(x,y,z)=(2xsin(y)+x^2cos(y),-2x+2z) sollte stimmen. Damit ergibt sich rang f = 2.
(b) so der Satz über implizite Funktionen. Also so wie ich ihn verstanden hab, brauch ich eine Nullstelle von F, was hier zum Beispiel (x,y,z)=t*(1,0,1) ist. Aber an dieser Stelle soll die Ableitung der Matrix, trotzdem den Rang 2 haben, was aber nicht der fall ist, der wäre dann 1. Was nun? Gibt es keine Punkte aus [mm] \IR³? [/mm] Oder hab ich den Satz falsch angewendet?
Gruß
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, auch die Vorlesung hat mir nicht weitergeholfen für
> meine Aufgaben...
>
> Ich habe jetzt noch mal versucht eure Hinweise auf die
> meine Aufgabe anzuwenden und habe auch ein Ergebnis. Aber
> obs richtig ist..
>
> Ich habe nach x abgeleitet.
> Zuvor für s noch [mm](x^2+1)[/mm]
> eingesetzt #
Da habe ich große Bedenken .....
> und komme somit auf:
>
> [mm]-4(x^3+x)e^{-(x^2+1)^2 z}*cos(\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})[/mm]
Das stimmt nicht. Wo kommt denn der Faktor [mm] -4(x^3+x) [/mm] her ???
FRED
>
> Hab also die äußere Ableitung, das ist mein cos, und das
> andere ist hoffentlich meine Ableitung mit Hilfe des
> Hauptsatzes..
> Stimmt das? Oder wieder Quatsch?
>
>
> Gruß
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Oh man, langsam bekomm ich zu viel. Ich hab mir eine Aufgabe dazu angeschaut, bei der jedoch der sin im Integral stand..
Dort wurde dann einfach x für s eingesetzt und dann eben f(s)=f(x) abgeleitet. Das gleiche hab ich auch getan hier.. ich habe also f(s) = e^(-s²z) => [mm] e^{-(x²+1)^2 z} [/mm] das habe ich dann abgeleitet ==> [mm] (-4x^3-4x)*e^{-(x²+1)^2 z}.
[/mm]
Vllt könntet ihr lieber erstmal die 2. Aufgabe bzw. meine Lösung dazu anschauen, denn an der hier verzweifel ich so langsam
Zu (2)
(a) also ich denke mein f(x,y,z)=(2xsin(y)+x^2cos(y),-2x+2z) sollte stimmen. Damit ergibt sich rang f = 2.
(b) so der Satz über implizite Funktionen. Also so wie ich ihn verstanden hab, brauch ich eine Nullstelle von F, was hier zum Beispiel (x,y,z)=t*(1,0,1) ist. Aber an dieser Stelle soll die Ableitung der Matrix, trotzdem den Rang 2 haben, was aber nicht der fall ist, der wäre dann 1. Was nun? Gibt es keine Punkte aus $ [mm] \IR³? [/mm] $ Oder hab ich den Satz falsch angewendet?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ganz von vorne:
Wir haben:
$F(x,z) := sin [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) [/mm] $
Dann ist mit der Kettenregel:
[mm] $F_x(x,z)= [/mm] cos [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) *\bruch{1}{z}*(\bruch{\partial}{\partial x}\integral_{1}^{1+x^2}{e^{-s^2z} ds})$
[/mm]
Nun berechnen wir noch: [mm] \bruch{\partial}{\partial x}\integral_{1}^{1+x^2}{e^{-s^2z} ds}
[/mm]
Dazu setze
[mm] \phi(t):= \integral_{1}^{t}{e^{-s^2z} ds}
[/mm]
und
[mm] \psi(x)= \integral_{1}^{1+x^2}{e^{-s^2z} ds}= \phi(x^2+1)
[/mm]
Nach dem Hauptsatz ist [mm] \phi'(t)= e^{-t^2z}, [/mm] und somit folgt mit der Kettenregel:
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x} \psi(x)= \phi'(x^2+1)*2x= 2x*e^{-(x^2+1)^2z}$
[/mm]
FRED
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Mh, okay, also moment Fred, ich muss dir jetzt einfach mal zeigen, warum ich nicht dahinter steige ...
http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS10XX84688.pdf, 2.Aufgabe
Aber danke für diese ausführliche Aufschreiben, damit kann ich endlich nachvollziehen wie es funktioniert.
Damit erhalte ich also für
[mm] F_x=cos (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) \cdot{}\bruch{1}{z}*2x\cdot{}e^{-(x^2+1)^2z}
[/mm]
Nun schau ich mir mal noch [mm] F_y [/mm] an. Ach und zu (2) kannst du da vielleicht was sagen?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mh, okay, also moment Fred, ich muss dir jetzt einfach mal
> zeigen, warum ich nicht dahinter steige ...
>
> http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS10XX84688.pdf,
> 2.Aufgabe
Die machen das genauso !
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> Aber danke für diese ausführliche Aufschreiben, damit
> kann ich endlich nachvollziehen wie es funktioniert.
> Damit erhalte ich also für
>
> [mm]F_x=cos (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) \cdot{}\bruch{1}{z}*2x\cdot{}e^{-(x^2+1)^2z}[/mm]
Richtig
FRED
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> Nun schau ich mir mal noch [mm]F_y[/mm] an. Ach und zu (2) kannst du
> da vielleicht was sagen?
>
>
> Gruß Leipziger
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Fred, ich glaub du verzweifelst an mir :D
Also ich hab für [mm] F_y [/mm] jetzt [mm] \psi(z)= \integral_{1}^{z}{e^{-s^2z} ds}= \phi(z) [/mm] gesetzt und hoffe das ist richtig. Ich bin mir unsicher was ich diesmal für ein "s" einsetzen muss.. naja und komme also auf:
[mm] F_y=cos (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) \cdot{}[-\bruch{1}{z^2}*\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}+e^{-z^3}*\bruch{1}{z}]
[/mm]
Ich getrau mich gar nicht zu fragen.. Richtig? :)
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Fred, ich glaub du verzweifelst an mir :D
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> Also ich hab für [mm]F_y[/mm] jetzt [mm]\psi(z)= \integral_{1}^{z}{e^{-s^2z} ds}= \phi(z)[/mm]
> gesetzt und hoffe das ist richtig. Ich bin mir unsicher was
> ich diesmal für ein "s" einsetzen muss.. naja und komme
> also auf:
>
> [mm]F_y=cos (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) \cdot{}[-\bruch{1}{z^2}*\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}+e^{-z^3}*\bruch{1}{z}][/mm]
>
> Ich getrau mich gar nicht zu fragen.. Richtig? :)
Leider nein. Du gehst falsch vor.
Es war:
$ F(x,z) := sin [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) [/mm] $
F hängt von y nicht ab ! Du meinst wohl [mm] F_z, [/mm] wenn Du [mm] F_y [/mm] schreibst.
Setzen wir $H(z):= [mm] \integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}$, [/mm] so hat F die Gestalt
$F(x,z)= [mm] sin(\bruch{H(z)}{z})$
[/mm]
Mit der Kettenregel und der Quotientenregel bekommen wir:
[mm] $F_z= cos(\bruch{H(z)}{z})* (\bruch{\partial}{\partial z}\bruch{H(z)}{z})= cos(\bruch{H(z)}{z})*\bruch{\bruch{\partial}{\partial z}H(z)*z-H(z)}{z^2}$
[/mm]
Und [mm] \bruch{\partial}{\partial z}H(z) [/mm] berechnet sich so:
[mm] $\bruch{\partial}{\partial z}H(z)= \integral_{1}^{x^2+1}( \bruch{\partial}{\partial z}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})=- \integral_{1}^{x^2+1}s^2e^{-s^2\cdot{}z}{ds}$
[/mm]
FRED
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> Gruß Leipziger
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Okay...
[mm] F_z=cos (\bruch{1}{z}*\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})*\bruch{1}{z^2}*[-z \integral_{1}^{x^2+1}s^2e^{-s^2\cdot{}z}{ds}-\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}]
[/mm]
Ich danke dir für deine Geduld und hoffe, dass ichs wenigstens richtig aufschreiben kann..
f(x,z)=(cos [mm] (\bruch{1}{z}\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}) \cdot{}\bruch{1}{z}\cdot{}2x\cdot{}e^{-(x^2+1)^2z},cos (\bruch{1}{z}*\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds})*\bruch{1}{z^2}*[-z \integral_{1}^{x^2+1}s^2e^{-s^2\cdot{}z}{ds}-\integral_{1}^{x^2+1}e^{-s^2\cdot{}z}{ds}])
[/mm]
Wie zeige ich nun, ob die Funktion stetig forsetzbar ist, bzw. nicht forsetzbar?
Im Prinzip müsste ich ja die Grenzwerte von oben und unten an 0 anschauen oder? Aber das sieht hier nicht so einfach aus...
Gruß
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Ist meine Lösung nun korrekt?
Und wie zeige bzw. widerlege ich, dass die Funktion stetig forsetzbar ist?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 13.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ableitungen sind jetzt richtig, aber warum du den gradienten f(x,y) nennst ist mir unklar.
Um die Stelle (0,0) von F(x,y) zu untersuchen musst du dir das Integral unter dem sin ansehen, wenn das stetig ist, dann auch die Zusammensetzung mit sin,
Gruss leduart
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