Ableitung m. gemischten Regeln < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Di29 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die erste Ableitung der angegebenen Funktion.
[mm] f(x)=\wurzel{sin(x)cos(x)}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich habe die Funktion umgeformt in
[mm] f(x)=\wurzel{sin(x)}\*\wurzel{cos(x)}
[/mm]
um f(x) mit der Produktregel abzuleiten:
[mm] f(x)=g(x)\*h(x) [/mm] und [mm] f'(x)=g'(x)\*h(x)+g(x)\*h'(x)
[/mm]
Dabei habe ich durch ableiten mit Kettenregel erhalten für:
[mm] g(x)=\wurzel{sin(x)} [/mm] . [mm] g'(x)=\bruch{cos(x)}{2\wurzel{sin(x)}}
[/mm]
und
[mm] h(x)=\wurzel{cos(x)} [/mm] . h'(x)= [mm] \bruch{-sin(x)}{2\wurzel{cos(x)}}
[/mm]
Somit ergibt sich
[mm] f'(x)=\bruch{cos(x)\*\wurzel{cos(x)}}{2\wurzel{sin(x)}}-\bruch{sin(x)\*\wurzel{sin(x)}}{2\wurzel{cos(x)}}
[/mm]
Also in der Klausur hätte ich für mich beschlossen, dass die Aufgabe damit gelöst ist (denn beim Umformen unterlaufen mir immer wieder mal Fehler). Die Musterlösung für diese Aufgabe sieht aber völlig anders aus.
Also kam ich auf die Idee, die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, indem ich links mit [mm] \wurzel{cos(x)} [/mm] erweitert habe und rechts mit [mm] \wurzel{sin(x)}.
[/mm]
Aufgrund der Rechenregeln für Wurzeln erhalte ich dann
[mm] f'(x)=\bruch{cos(x)^2-sin(x)^2}{2\wurzel{sin(x)\*cos(x)}}
[/mm]
Die Musterlösung lautet jedoch
[mm] f'(x)=-\bruch{sin(x)^2-cos(x)^2}{2\wurzel{sin(x)\*cos(x)}} [/mm]
Meines erachtens wäre alles prima, wenn die Musterlösung im Zähler
+ [mm] cos(x)^2 [/mm] lauten würde. Das ist auch das einzige was für mich Sinn ergibt, denn die Ableitung von [mm] \wurzel{sin(x)} [/mm] ist nunmal positiv.
Nun frage ich mich mal wieder, wo denn hier der mathematische Hase im Pfeffer liegt und hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen.
Diana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Diana!
Beachte, dass Du bei der Musterlösung vor dem Bruch ein Minuszeichen stehen hast. Damit stimmt Deine Lösung mit der Musterlösung überein, da ja gilt:
[mm] $$\cos^2(x)-\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] -\left[\sin^2(x)-\cos^2(x)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Di29 |
Hallo Loddar,
ja, jetzt sehe ich es auch.
Das war nach den ganzen Ableitungen wohl "zu einfach" 
Ich bin total erleichtert, dass ich auf die richtige Lösung gekommen bin.
Dann kann ich ja jetzt beruhigt schlafen gehen.
Daaaaaaankeeeeee *freu*
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