Ableitung mit zwei mal "hoch" < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Erste Ableitung bilden und zusammenfassen: $y= [mm] 4^{e^{\sin x}}$ [/mm] |
Da man es schlecht erkennen kann: Die Aufgabe lautet:
y=4 hoch (e hoch sinx)
Also bedeutet das 2 Mal "hoch". Nun ist das unglücklicherweise auch noch mit einer E-funktion und sinus verknüpft. Da ich sowas noch nie abgeleitet habe, habe ich auch keine Ahnung wie ich da anfangen soll. Hat irgendjemand eine Ahnung?
Kümmer ich mich da erstmal um e hoch sinx? Das hat doch sicher auch was mit innerer und äußerer Ableitung zu tun oder?
Da würde aus e hoch sinx werden: cosx*e hoch sinx
Und wie "kombiniere" ich das dann mit der 4?
Für Hilfe bin ich dankbar!
Esperanza
|
|
| |
|
Du kannst das natürlich als Zweifachverkettung auffassen:
[mm]x \mapsto u = \sin{x} \mapsto v = \operatorname{e}^u \mapsto y = 4^v[/mm]
Dann die Kettenregel anwenden:
[mm]y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}v} \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}[/mm]
Prägnant formuliert: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der innersten Funktion, natürlich die jeweils inneren Funktionen stets mitgeführt.
Vielleicht wird die Rechnung aber übersichtlicher, wenn du vor dem Ableiten zweimal logarithmierst:
[mm]y = f(x)[/mm]
[mm]\ln{y} = \ln{f(x)}[/mm]
[mm]\ln{(\ln{y})} = \ln{\left( \ln{f(x)} \right)}[/mm]
Das Ganze macht natürlich nur Sinn, wenn du auf der rechten Seite jeweils Logarithmengesetze zur Vereinfachung anwendest (Hochzahlen als Faktor vorziehen, Logarithmus eines Produkts als Summe der Logarithmen). Dann sieht die letzte Gleichung rechts ziemlich einfach aus. Jetzt mußt du dafür links an die Kettenregel denken. Und beachte, daß nach [mm]x[/mm] differenziert wird, die innerste Funktion links also [mm]y[/mm] als abhängige Variable besitzt.
Entscheide selbst, welcher Weg dir einfacher vorkommt. Du kannst ja auch einmal beide ausprobieren.
|
|
|
| |
|
Danke für die rasche Antwort!
Ich kaue immernoch an der Aufgabe herum. Weiß noch nicht wie das aussehen soll...
Weiß nämlich nicht wie man [mm] e^s^î^n^x [/mm] ableitet....
Das mit den Logarithmen ist mir glaub ich auch zu schwierig...
Wie geht das?
Gruß, Esperanza
|
|
|
| |
|
Hallo,
warum machst du das hier nicht einfach:
"Prägnant formuliert: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der innersten Funktion, natürlich die jeweils inneren Funktionen stets mitgeführt. "
??
[mm] e^{sin(x)} [/mm] leitet man mit der Kettenregel ab:
[mm] (e^{sin(x)})'=e^{sin(x)}*cos(x)
[/mm]
Das jetzt mal den Ableitungen der inneren beiden Funktionen! Dann bist du fertig!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
Da bist du jetzt am Schluß deines Beitrags selbst ins Schlingern gekommen. Wieso schreibst du die Ableitung (!!!) der inneren Funktion ins Argument der äußeren Funktion?
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast natürlich Recht. Ich habe dich ja oben noch zitiert. Wahrscheinlich war es gestern abend einfach zu spät!
@esperanza: Mach' es so, wie Leopold vorgeschlagen hat1
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
|
