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Hallo. Ich habe gerade in einer Lösung zu einer Aufgabe gelesen, dass wenn ich nach x auflöse folgendes rauskommt:
sin(x)cos(x)=0 [mm] \gdw x=k\pi [/mm] oder [mm] x=(k+0,5)\pi (k\inZ)
[/mm]
Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt und woher kommen k und pi? Was hat das ganze mit [mm] k\inZ [/mm] zutun?
Esperanza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Esperanza |
die zweite Lösung heißt [mm] x=(k+0,5)\pi [/mm] (kEZ)
is irgendwie aneinandergerutscht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hallo. Ich habe gerade in einer Lösung zu einer Aufgabe
> gelesen, dass wenn ich nach x auflöse folgendes rauskommt:
>
> sin(x)cos(x)=0 [mm]\gdw x=k\pi[/mm] oder [mm]x=(k+0,5)\pi (k\inZ)[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt und woher
> kommen k und pi? Was hat das ganze mit [mm]k\inZ[/mm] zutun?
>
> Esperanza
Hallo Esperanza,
dem ganzen liegt eigentlich nicht mehr zugrunde als der Satz:
Ein Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
Hier sind die Faktoren [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\cos(x)$, [/mm] du kannst also
zwei Gleichungen aufstellen:
(1) [mm] $\sin(x)=0$
[/mm]
und
(2) [mm] $\cos(x)=0$
[/mm]
Die Lösungen beider Gleichungen sind automatisch Lösungen
der Ursprungsgleichung.
Gruß
Nicolas
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Mhh....und kannst du mir die Schreibweise mit dem k noch erläutern? Das sagt mir nämlich gar nix.
Es gibt ja mehrere Möglichkeiten das sinx oder cosx null wird....hat das damit was zu tun?
Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Mhh....und kannst du mir die Schreibweise mit dem k noch
> erläutern? Das sagt mir nämlich gar nix.
>
> Es gibt ja mehrere Möglichkeiten das sinx oder cosx null
> wird....hat das damit was zu tun?
>
> Esperanza
Hallo Esperanza,
wenn du dir eine Sinus- oder Cosinusfunktion anschaust, wirst du festellen,
dass sie periodisch verläuft, es gibt nicht nur eine oder viele Nullstellen, sondern
unendlich viele. Das $k$ drückt aus, dass es so viele gibt, denn du kannst für
$k$ jede ganz Zahl einsetzen und erhältst immer eine Nullstelle. Die Sinusfunktion
hat bei jedem Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] eine Nullstelle, also ist [mm] $x_e=k*\pi$ [/mm] eine Nullstelle.
Die Cosinusfunktion bei [mm] $\frac{1}{2}\pi$ [/mm] und von dort aus immer nach [mm] $\pi$-Schritten,
[/mm]
also [mm] $x_0=\frac{1}{2}\pi+k\pi=\pi(\frac{1}{2}+k)$.
[/mm]
Gruß
Nicolas
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