Ableitung vom Cos und Sin < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve $c(t)=(cos^3t,sin^3t). $
a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.
b) Berechnen Sie $||c'|| $. |
Hallo Zusammen,
ich hänge an der zweiten Ableitung. Kann mir jemand kurz erklären wie man dies hier macht. Man muss ja die Kettenregel beachten.
$c(t)=(cos^3t,sin^3t)$
$c'(t)=(-3 [mm] \cdot [/mm] cos^2t [mm] \cdot [/mm] sint,3 [mm] \cdot sin^2t\cdot [/mm] cost)$
[mm] $c''(t)=(-6\cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sint )$ so und nun hänge ich fest...
[mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}
[/mm]
Könnt ihr mir kurz helfen!
Danke und Grüße!
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Hallo Bodo,
> Gegeben sei die Kurve [mm]c(t)=(cos^3t,sin^3t).[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.
> b) Berechnen Sie [mm]||c'|| [/mm].
> Hallo Zusammen,
>
> ich hänge an der zweiten Ableitung. Kann mir jemand kurz
> erklären wie man dies hier macht. Man muss ja die
> Kettenregel beachten.
>
> [mm]c(t)=(cos^3t,sin^3t)[/mm]
> [mm]c'(t)=(-3 \cdot cos^2t \cdot sint,3 \cdot sin^2t\cdot cost)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]c''(t)=(-6\cdot cost \cdot sint )[/mm]
Das muss doch wieder ein Vektor sein, du musst beide Komponenten von [mm]c'(t)[/mm] ableiten.
Dazu Produkt- und Kettenregel hernehmen ...
Mal für die erste Komponente:
Den konstanten Faktor [mm]-3[/mm] kannst du stehenlassen, dann ist [mm]\cos^2(t)[/mm] der eine Faktor und [mm]\sin(t)[/mm] der andere:
[mm]\frac{d}{dt}\left(-3\cos^2(t)\sin(t)\right)=-3\frac{d}{dt}\left(\blue{\cos^2(t)}\cdot{}\red{\sin(t)}\right)=-3\left[\blue{-2\cos(t)\sin(t)}\cdot{}\red{\sin(t)}+\blue{\cos^2(t)}\red{\cos(t)}\right]=\ldots[/mm]
> so und nun hänge ich
> fest...
>
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}[/mm]
>
> Könnt ihr mir kurz helfen!
> Danke und Grüße!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also hätte ich:
$ [mm] c''(t)=(6\cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sin^2t + [mm] cos^3 [/mm] t, [mm] 6\cdot [/mm] sint [mm] \cdot cos^2 [/mm] t - [mm] sin^3 [/mm] t)$
Grüße,
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> also hätte ich:
>
> [mm]c''(t)=(6\cdot cost \cdot sin^2t + cos^3 t, 6\cdot sint \cdot cos^2 t - sin^3 t)[/mm]
Du hast die Vorfaktoren nicht konsequent reingezogen:
[mm]c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)\red{-3}\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t)\red{-3}\sin^3(t))[/mm]
>
> Grüße,
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok!
Für die Norm hätte ich doch jetzt:
$ [mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t} [/mm] $
wie könnte ich das jetzt weiter vereinfachen? Ich glaube nicht, dass man hier schon fertig ist, oder?
Grüße
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> Ok!
>
> Für die Norm hätte ich doch jetzt:
>
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}[/mm]
>
> wie könnte ich das jetzt weiter vereinfachen? Ich glaube
> nicht, dass man hier schon fertig ist, oder?
>
> Grüße
hallo,
klammer doch mal nen [mm] sin^2 [/mm] und nen [mm] cos^2 [/mm] aus..
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Tee,
also hätte ich:
$ [mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sint$
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> Hallo Tee,
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> also hätte ich:
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> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]
hallo,
das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts von dem gleichheitszeichen aussieht
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo Tee,
> >
> > also hätte ich:
> >
> > [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]
>
> hallo,
> das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
> bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts von
> dem gleichheitszeichen aussieht
>
> gruß tee
Hallo,
$3 |sint [mm] \cdot [/mm] cos t |$
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> > > Hallo Tee,
> > >
> > > also hätte ich:
> > >
> > > [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]
> >
> > hallo,
> > das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
> > bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts
> von
> > dem gleichheitszeichen aussieht
> >
> > gruß tee
>
>
> Hallo,
>
> [mm]3 |sint \cdot cos t |[/mm]
gruß tee
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