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Forum "Uni-Analysis" - Ableitung von Cosinus
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Ableitung von Cosinus: Problembetrachtung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Di 20.12.2005
Autor: Esperanza

Aufgabe
Bildund der ersen Ableitung und Vereinfachung:

[mm] y=cos(\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{3}{x}) [/mm]

Hallo!

Die Ableitung von cos x ist -sin x.
Da ich mit sowas noch nie gerechnet habe, stellt sich mir die Frage ob ich hier zusätzlich noch die Produktregel gekoppelt mit der Quotientenregel anwenden muss. Es steh ja ein Mal zwischen cos und der Klammer und in der Klammer sind Brüche.

Mein Ergebnis ist: [mm] -sin(3x^2-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{-3}{x^2}) [/mm]

.....wenn ich jetzt nur die Quotientenregel angewendet hab. Ansonsten wär das ganz schön umständlich....bin bissl ratlos. Hoffe jemand weiß weiter.

Danke, Esperanza
        
Bezug
Ableitung von Cosinus: Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Di 20.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Esperanza!


Deine Ableitung ist leider falsch! Du musst hier mit der MBKettenregel vorgehen, da wir hier eine verkettete Funktion haben ("Cosinus von irgendwas").

$f(x) \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{3}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \cos(...)$ [/mm]


Nach der MBKettenregel gilt ja: "äußere Ableitung × innere Ableitung".


Damit gilt also:

$f'(x) \ = \ [mm] \left[ \ \cos(...) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] -\sin(...)*(...)'$ [/mm]


Und die innere Funktion $(...) \ = \ [mm] \bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{3}{x}$ [/mm] liefert dann folgende innere Ableitung:

$(...) \ = \ [mm] \bruch{x^3}{\wurzel{3}}+\bruch{3}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}*x^3+3*x^{-1}$ [/mm]

$(...)' \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}*3x^2+3*(-1)*x^{-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{\wurzel{3}}*x^2-3*x^{-2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3}*x^2-\bruch{3}{x^2}$ [/mm]


Nun in obige Gleichung einsetzen ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung von Cosinus: Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Di 20.12.2005
Autor: Esperanza

Hallo Loddar!

Danke für die schnelle Antwort!

Klar, Kettenregel.....habsch mir schon gedacht. Nur wie ich das jetzt angewandt hätte, ....keine Ahnung  da noch nie gemacht mit cosinus. Da wusste ich auch nicht wie eine äußere Ableitung dazu aussieht.

Du meinst das sieht dann so aus:

[mm] -sin(\bruch{1}{\wurzel{3}}*x^3+3*x^-^1)*(\bruch{3}{\wurzel{3}}*x^2-\bruch{3}{x^2}) [/mm]

Und kann ich das dann noch weiter zusammenfassen? Obwohl ausmultiplizieren schon ganz schön umständlich wäre.

Gruß, Esperanza


Bezug
                        
Bezug
Ableitung von Cosinus: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Di 20.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Esperanza!


Deine Ableitung stimmt und braucht m.E. nicht weiter zusammengefasst werden.


Gruß
Loddar

Bezug
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