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Ableitung von ln-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 01.09.2006
Autor: Slint

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f und g durch

[mm] y=f(x)=-\bruch{1}{x}-2lnx+2 [/mm]

y=g(x)=3x-2lnx-2  

Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von den Graphen der Funktion f und g.
Ermitteln Sie die Art der Extrempunkte.              


Also mein Vorschlag wäre, dass ich von beiden Funktionen die erste und zweite Ableitung bilde. Die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln (notwendige Bedingung) und diese dann noch mit der zweiten Ableitung überprüfen (hinreichende Bedingung). Aber ich bin einfach nicht dazu in der Lage diese beiden Funktionen abzuleiten! Kann mir das bitte jemand einmal ausführlich vorrechen? Wäre sehr dankbar...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitung von ln-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Fr 01.09.2006
Autor: PStefan

Hallo Slint,

Zuerst einmal ein herzlich [willkommenmr]


> Gegeben sind die Funktionen f und g durch
>  
> [mm]y=f(x)=-\bruch{1}{x}-2lnx+2[/mm]
>  
> y=g(x)=3x-2lnx-2  
>
> Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von
> den Graphen der Funktion f und g.
>  Ermitteln Sie die Art der Extrempunkte.              
>
>
> Also mein Vorschlag wäre, dass ich von beiden Funktionen
> die erste und zweite Ableitung bilde. Die Nullstellen der
> ersten Ableitung ermitteln (notwendige Bedingung) und diese
> dann noch mit der zweiten Ableitung überprüfen
> (hinreichende Bedingung).

[ok]

Aber ich bin einfach nicht dazu
> in der Lage diese beiden Funktionen abzuleiten! Kann mir
> das bitte jemand einmal ausführlich vorrechen? Wäre sehr
> dankbar...
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Nun die Ableitungen: (zuerst Funktion f)
gut ist es zu wissen, dass ln(x) abgeleitet [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ergibt.
dann brauchst du vor allem noch die Reziprokenregel:
[mm] f(x)=\bruch{1}{g(x)} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-g'(x)}{(g(x))^{2}} [/mm]

daher haben wir nun:
[mm] \bruch{-1}{x} [/mm]
ergibt
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm]

im Ganzen gesehen:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{2}{x} [/mm]

ebenso

[mm] f''(x)=\bruch{-2}{x^{3}}+\bruch{2}{x^{2}} [/mm]

und nun g:

[mm] g'(x)=3-\bruch{2}{x} [/mm]

[mm] g''(x)=\bruch{2}{x^{2}} [/mm]

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte!

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Ableitung von ln-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Fr 01.09.2006
Autor: Slint

Hey, herzlichen Dank Stefan für die schnelle und ausführliche Antwort! Das hilft mir sehr weiter und habe es auch gut verstanden :)

Gruß Robert
Bezug
                        
Bezug
Ableitung von ln-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Fr 01.09.2006
Autor: PStefan


> Hey, herzlichen Dank Stefan für die schnelle und
> ausführliche Antwort! Das hilft mir sehr weiter und habe es
> auch gut verstanden :)
>  
> Gruß Robert

Danke für diese nette Rückmeldung! [happy]

Beste Grüße
Stefan [winken]
Bezug
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