Forum "Differentiation" - Ableitungen - Vorhilfe.de

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Forum "Differentiation" - Ableitungen

Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:40 Di 22.01.2008
Autor:	Anomalie

Aufgabe

 Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich muss die Ableitung dieser Funktion berechnen und dann vereinfachen so weit wie möglich:

[mm] g(x)=(\wurzel{1-cos(x)})/(\wurzel{1+cos(x)}, x\not\in\pi\IZ
 [/mm]

Ich brauche Hilfe...

Ich habe zwar alle Ableitungsregeln, kann aber bei dieser Funktion nichts damit anfangen,....

Bezug

Ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:53 Di 22.01.2008
Autor:	Event_Horizon

Hallo!

Erweitere diesen Bruch doch mal mit [mm] \wurzel{1-\cos(x)} [/mm] .

Im Zähler fällt dann natürlich die Wurzel raus. Aber beschäftige dich mal genau mit dem Nenner, da verschwindet die Wurzel nämlich auch!

Danach hast du zwar noch einen Bruch, aber der sieht weitaus angenehmer aus!

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	23:09 Di 22.01.2008
Autor:	Anomalie

Danke,...
ich habe jetzt folgendes raus:

Zähler: 1-cos(x), wie du bereit sagtest..

Nenner: [mm] \wurzel{1+cos(x)}\*\wurzel{1-cos(x)} [/mm]

= nach vielem umformen auch 1-cos(x) ??

Bezug

Ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:14 Di 22.01.2008
Autor:	Anomalie

Aufgabe

 Danke,... 

ich habe jetzt folgendes raus: 

Zähler: 1-cos(x), wie du bereit sagtest.. 

Nenner: [mm] \wurzel{1+cos(x)} \* \wurzel{1-cos(x)}
 [/mm]

= nach vielem umformen auch 1-cos(x) ??

Das kann aber irgendwie nicht richtig sein, oder?

Bezug

Ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:18 Di 22.01.2008
Autor:	Event_Horizon

Nein, aber das ist

[mm] \wurzel{(1-cos(x))*(1+cos(x))} [/mm]

Was da jetzt unter der Wurzel steht, solltest du erkennen, und entsprechend umformen können. Und dann solltest du dich an sin²+cos²=1 erinnern.

Bezug

Ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:26 Di 22.01.2008
Autor:	Anomalie

Aufgabe

 Ich sehe, dass unter der Wurzel die 3. binomische Formel steckt....

Aber ich komme immer wieder auf : 1-cos(x)

das kann ja aber nicht

Kannst du mir vielleicht n bisschen mehr helfen? Wahrscheinlich habe ich gerade ein sehr großes Brett vorm Kopf....

Bezug

Ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:31 Di 22.01.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo Anomalie,

> Ich sehe, dass unter der Wurzel die 3. binomische Formel
> steckt....

genau !

>  Aber ich komme immer wieder auf : 1-cos(x)
>  das kann ja aber nicht
>  Kannst du mir vielleicht n bisschen mehr helfen?
> Wahrscheinlich habe ich gerade ein sehr großes Brett vorm
> Kopf....

Es scheint so ;-)

Du hast die 3. binomische Formel erkannt: [mm] $(a-b)(a+b)=a^2-b^{\red{2}}$ [/mm]

Also ist [mm] $(1-\cos(x))(1+\cos(x))=...$ [/mm]

Dann denke daran, was du alles über [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] weißt:

[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$... [/mm]

Lieben Gruß

schachuzipus

Bezug

Ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:47 Di 22.01.2008
Autor:	Anomalie

Aufgabe

 ok:

[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
 [/mm]

dh.: cos(x)=-sin(x)

hier bedeutet das dann, dass Nenner ist = 1+sin(x) ist

für die Funktion heißt das dann:

f(x)=1-cos(x) / 1+sin(x)
f´(x) = 1+sind(x) / 1+cos(x) ???

Das kann doch aber nicht richtig sein, oder?
Ich stelle mich vielleicht wirklich dumm an,... tut mir leid.

Bezug

Ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:53 Di 22.01.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo,

ja irgenwir verhaspelst du dich da

> ok:
> [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
> dh.: cos(x)=-sin(x)

Wie das denn??

Aus [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] folgt durch Subtraktion von [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] auf beiden Seiten:

[mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ [/mm]

Nun schauen wir nochmal auf den verfluchten ;-)

Nenner

Da steht [mm] $\sqrt{(1+\cos(x))\cdot{}(1-\cos(x))}=\sqrt{1^2-\cos^2(x)}$ [/mm] wegen der 3. biomischen Formel

[mm] $=\sqrt{1-\cos^2(x)}$ [/mm]

Nun schaue ein paar Zeilen höher....

Jetzt aber....

LG

schachuzipus
>
>
> hier bedeutet das dann, dass Nenner ist = 1+sin(x) ist
>
> für die Funktion heißt das dann:
>
> f(x)=1-cos(x) / 1+sin(x)
>  f´(x) = 1+sind(x) / 1+cos(x) ???
>
> Das kann doch aber nicht richtig sein, oder?
>  Ich stelle mich vielleicht wirklich dumm an,... tut mir
> leid.

LG

schachuzipus

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	00:05 Mi 23.01.2008
Autor:	Anomalie

Du bist wirklich sehr geduldig mit mir Schachuzipus...

[mm] \wurzel{1-cos^2(x)} [/mm] = [mm] \wurzel{sin^2(x)} [/mm] = sin(x) ??(*angsthab*)

f(x) = 1-cos(x) / sin (x)

f´(x) = sin(x) / cos(x)
= tan(x)

habe ich es jetzt raus???

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	00:14 Mi 23.01.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo nochmal,

> Du bist wirklich sehr geduldig mit mir Schachuzipus...
>
> [mm]\wurzel{1-cos^2(x)}[/mm] = [mm]\wurzel{sin^2(x)}[/mm] = sin(x)
> ??(*angsthab*)

>
> f(x) = 1-cos(x) / sin (x)

ganz genau !!

>
> f´(x) = sin(x) / cos(x)
>          = tan(x)

Hast du Zähler und Nenner getrennt abgeleitet?

Hmm, das geht nicht! Du musst die Quotientenregel benutzen:

Bei einer Funktion [mm] $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ [/mm] ist die Ableitung [mm] $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$ [/mm]

> habe ich es jetzt raus???

Nee, du musst wohl noch ein bisschen rechnen ;-)

Ich kann dir aber mal das Kontrollergebnis geben:

Wenn du alles richtig ableitest und schön zusammenfasst, sollte am Ende [mm] $f'(x)=\frac{1}{\cos(x)+1}$ [/mm] herauskommen

LG

schachuzipus

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	00:18 Mi 23.01.2008
Autor:	Anomalie

*lach*

tut mir leid,... das war dumm von mir.
Ich sitze seit heute morgen 8.00h am Schreibtisch....

ich sehr den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr....

Alles klar, weiß jetzt bescheid.
und vielen, vielen Dank

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	00:32 Mi 23.01.2008
Autor:	Event_Horizon

Hallo!

Dieses [mm] \frac{1-\cos x}{\sin x} [/mm] kam mir irgendwie bekannt vor, insbesondere, wo ich jetzt die Ableitung sehe.
Und tatsache, das läßt sich noch weiter vereinfachen. Nach

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

ist das nämlich [mm] \tan(x/2) [/mm] , und das sollte sich erst recht ableiten lassen...

Bezug

Ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	00:17 Mi 23.01.2008
Autor:	Tyskie84

Hallo!

>
> f(x) = 1-cos(x) / sin (x)
>
> f´(x) = sin(x) / cos(x)
>          = tan(x)
>
> habe ich es jetzt raus???

Leider nicht! benutze die Qutientenregel bei der Ableitung: Es ist f(x)= [mm] \bruch{u}{v} \Rightarrow [/mm] f´(x) = [mm] \bruch{u´* v - u * v´ }{v²} [/mm]

Gruß

Bezug

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