Ableitungen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | Bilden Sie die 1.Ableitung folgender Funktionen:
(a) [mm] y=e^\wurzel{x} [/mm] *sin3x
(b) [mm] y=ln*\wurzel{\bruch{1+2x}{1-2x}}
[/mm]
(c) [mm] y=ln*tan*\bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{cosx}{sin^2 *x}
[/mm]
(d) [mm] y=arctan*2x+arctan\bruch{1}{x}
[/mm]
(e) [mm] y=(\bruch{x}{1+x})^x
[/mm]
(f) y= (sin*x)*x^cos*x
(g) y= [mm] \bruch{\wurzel{x+3}*3^x *cos^3 *x}{(2+3x)^2} [/mm] |
hey..
Also ich wollte diese Hausaufgaben hier mal zusammen lösen um zu schauen ob ich das noch kann oder was für Fehler ich mache. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich versuchs.
Danke
(a) [mm] y=e^\wurzel{x} [/mm] *sin3x
productregel:y'=u'*v+u*v'
[mm] u=e^\wurzel{x}
[/mm]
u'=????
v=sin3x
v'=cos3x
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 So 17.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hallo TeamBob,
also sieht eigentlich ganz gut aus bisher, allerdings gilt:
v'=cos3x *3
[mm] u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x}} e^\wurzel{x}
[/mm]
Stichwort: Äußere mal innere Ableitung bzw. Kettenregel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
hey...
Also ich bin jetzt mal anders an die Aufgabe rangegangen.
(a) [mm] e^\wurzel{x} [/mm] *sin3x
habe einmal nur [mm] e^\wurzel{x}
[/mm]
und einmal sin3x betrachtet.
sodas folgt:
[mm] u=e^\wurzel{x} [/mm]
[mm] u'=e^\wurzel{x} [/mm]
v= [mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^\bruch{1}{2} [/mm]
v'= [mm] \bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
daraus ergibt sich dann
y'= [mm] e^{\wurzel{x}} *(x^\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2})
[/mm]
dann noch sin3x ableiten zu 3cos(3x) und Kettenregel ergibt
y'= [mm] e^{\wurzel{x}} *(x^\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2} [/mm] *sin3x) + 3cos(3x))
ABER rauskommen sollte:
y'= [mm] e^{\wurzel{x}} *(\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2} [/mm] *sin3x) + 3cos(3x))
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Hiho,
> sodas folgt:
> [mm]u=e^\wurzel{x}[/mm]
> [mm]u'=e^\wurzel{x}[/mm]
Diese Ableitung ist falsch. Auch hier hast du eine verkettete Funktion der Form f(g(x)) mit f(x) = [mm] e^x [/mm] und g(x) = [mm] \sqrt{x}.
[/mm]
Wie sieht also die Ableitung aus?
Schreib am besten IMMER die innere Ableitung mit hin, selbst wenn da 1 rauskommt, dann kannst du nix falsch machen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
naja wenn:
[mm] u=e^x
[/mm]
[mm] u'=e^x
[/mm]
[mm] v=\wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
=> [mm] e^x(x^{\bruch{1}{2}})*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
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> => [mm]e^x(x^(\bruch{1}{2}))*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}[/mm]
Also wenn das [mm]e^x*x^(\bruch{1}{2})*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}[/mm] heißen soll, ist es falsch.
Schreib die Kettenregel doch mal auf und setze einfach ein.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
es sollte heißen
[mm] e^x(x^{\bruch{1}{2}})*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
die kettenregel lautet: f'(x)=(u'*v)*v'
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> es sollte heißen
>
> [mm]e^x(x^{\bruch{1}{2}})*\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}[/mm]
> die kettenregel lautet: f'(x)=(u'*v)*v'
Hiho,
nein, die Kettenregel lautet f'(x) = u'(v(x)) * v'
D.h. du betrachtest u' an der Stelle v(x) und NICHT an x und Multipliziert wird NUR v' und sonst nix.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
war mein ergebnis jetzt richtig?
Könntest du mal zeigen wie ich die Kettenregel jetzt anwende ?
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Hi,
also abzuleiten ist ja [mm] e^{\wurzel{x}}
[/mm]
Dabei ist die innere Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] und die äußere Funktion [mm] e^{x}.
[/mm]
Demnach:
[mm] u(x)=\red{e^{x}}
[/mm]
[mm] u'(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] v(x)=\blue{\wurzel{x}}=\blue{x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] v'(x)=\green{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}=\green{\bruch{1}{2}\cdot\\x^{-\bruch{1}{2}}}.
[/mm]
Kettenregel: [mm] \red{u'}(\blue{v(x)})\cdot\\\green{v'(x)}. [/mm] ACHTUNG!!! Beachte hier dass [mm] \\u'(v(x)) [/mm] etwas anders als [mm] u'\cdot\\v(x) [/mm] ist !!!!!
[mm] f'(x)=\red{e}^{\blue{\wurzel{x}}}\cdot\green{\bruch{1}{2\wurzel{x}}}=\bruch{\red{e}^{\blue{\wurzel{x}}}}{\green{2\wurzel{x}}}.
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok ich verstehe jetzt gerade aber nicht mehr wie ich auf alles komme, vielleicht kann es mir mal jemand erklären / zeigen
(a) [mm] y=e^\wurzel{x} [/mm] *sin(3x)
Wie genau gehe ich den jetzt hier vor???
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
hey war mein Ergebnis den richtig?
Könntest du mir mal bitte zeigen wie man die Kettenregel anwendet, weil
ich stehe gerade richtig auf den Schlauch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok ich verstehe jetzt gerade aber nicht mehr wie ich auf alles komme, vielleicht kann es mir mal jemand erklären / zeigen
(a) [mm] y=e^\wurzel{x} [/mm] *sin(3x)
Wie genau gehe ich den jetzt hier vor???
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[mm] e^{\wurzel{x}} \bruch{1}{2 \wurzel{x}} [/mm] sin 3x +
3 [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] cos 3x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
Hey...
(a) [mm] e^\wurzel{x} [/mm] *sin3x
Also die lösung soll sein: [mm] e^\wurzel{x} *((\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2} [/mm] *sin3x)3cos(3x))
So aber wie genau komm ich denn jetz dahin?
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Hallo,
geh doch erst mal Schritt für Schritt vor und lass dir hier keine Komplettlösung geben. Du musst da hin kommen.
Als "Haupt"regel benutzt du die Produktregel.
[mm] u=e^{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{e^{\wurzel{x}}}{2\wurzel{x}}
[/mm]
v=sin(3x)
v'=3cos(3x)
Und jetzt mit der Produktregel uv'+u'v zusammen fassen.
Zur Frage wie du da hin kommst: Einfach rechnen!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
Ok also ich verstehe schon gar nicht wie ihr auf u' kommt??
Also [mm] e^\wurzel{x}
[/mm]
[mm] u=e^x
[/mm]
[mm] u'=e^x
[/mm]
[mm] v=\wurzel{x} [/mm] = [mm] x^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
das würde doch dann [mm] e^x *\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
ergeben?
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nein! du hast die wurzel bei der e-fkt vergessen ,die darf man nach innerer/äußerer ableitung nicht anrühren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok und das bedeutet was genau?
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Hallo,
ich mache mal ein Besipiel:
[mm] f(x)=e^{x²}
[/mm]
Hier ist die innere Funktion x² und die äußere Funktion ist [mm] e^{()} [/mm] also die e-Funktion.
Du verwendest hier die Kettenregel:
u(als äußere Fkt) = [mm] e^{()}
[/mm]
u'(als Ableitung die äußeren Fkt) = [mm] e^{()}
[/mm]
v(als innnere Fkt) = x²
v'(als Ableitung der inneren Fkt) = 2x
Nun gemäß Kettenregel zusammenfassen: [mm] u'(v)\cdot\\v'
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{x²}\cdot\\2x
[/mm]
Gruß
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Hallo,
die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. daran ändert sich nix.
es heisst u' von v(x) und nicht u' mal v(x) !!!!!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok also nochmal das ganze:
Also wenn ich [mm] e^\wurzel{x} [/mm] habe
u=e
u'=e
[mm] v=e^\wurzel{x} [/mm] = [mm] e^x^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v'=e^x^\bruch{1}{2} *(e^-x^\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] e^x^\bruch{1}{2} *(e^-x^\bruch{1}{2}) [/mm] * e
oder wie jetzt genau?
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u = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
v = [mm] e^{y}
[/mm]
wobei y hier als irgendeine konstante behandelt wird, dann am ende für y wieder [mm] \wurzel{x} [/mm] einsetzen... (Substitution)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
Hey....
Also ich sitze schon fast den ganzen Tag an dieser Aufgabe und bekomme zwar immer Tipps, aber ich komme nicht weiter...
kann mir den keiner bei der lösung dieser Aufgabe helfen und mir das mal an dieser Aufgabe erklären, bitte
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$ [mm] y=e^\wurzel{x} [/mm] $ *sin3x
das ist ein produkt aus zwei faktoren
Faktor 1: [mm] e^\wurzel{x}
[/mm]
Faktor 2: sin 3x
dieses produkt wird mit der produktregel abgeleitet: u'v + uv'
u = Faktor 1 = [mm] e^\wurzel{x}
[/mm]
v = Faktor 2 = sin 3x
u = Faktor 1 = [mm] e^\wurzel{x} [/mm] besteht wiederum aus zwei Funktionen, einer inneren und einer äußeren.
Die innere Funktion ist diejenige, die du wenn du den Term von Hand ausrechnest zuerst ausrechnen musst um die äußere auszurechen.
um [mm] e^\wurzel{x} [/mm] auszurechnen musst du erst [mm] \wurzel{x} [/mm] ausrechnen, danach e hoch dem ergebnis von Wurzel x.
ein Term, der aus einer inneren und einer äußeren funktion besteht, wird mithilfe der kettenregel abgeleitet: a'*b'
für u= [mm] e^\wurzel{x} [/mm] ist
a= innere funktion = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
b=äußere funktion = [mm] e^{h}, [/mm] wobei [mm] h=\wurzel{x} [/mm] (Subistitution). h wird hier aber als konstante behandelt und erst am ende wieder durch rücksubstituion zurückgetauscht.
v = sin 3x besteht wieder aus einer inneren funktion und einer äußeren, also kettenregel: c' * d'
c=3x
d= sin z mit z als substition für 3x, also z=3x, rücksubstitution am ende
also hast du jetzt
[mm] u=e^\wurzel{x}, [/mm] u' = a' * b', a= [mm] \wurzel{x}, [/mm] b= [mm] e^{y} [/mm] mit [mm] y=\wurzel{x}
[/mm]
usw!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
Ok Also ich versuche es mal....
So also ich habe
[mm] e^\wurzel{x} [/mm] *sin3x
So also betrachten wir zuerst [mm] e^\wurzel{x}
[/mm]
innere Fkt.: [mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^\bruch{1}{2} [/mm]
Ableitung: [mm] \bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
äußere Fkt.: [mm] e^{\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}}
[/mm]
so und jetzt innere * äußere...
[mm] =>e^{\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
und wie genau gehe ich da jetzt vor?
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Hallo, beachte, die Ableitung von e hoch irgendwas, ist e hoch irgendwas, in deinem Fall also [mm] e^{\wurzel{x}}, [/mm] jetzt kommt die innere Ableitung dazu, [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}, [/mm] innere und äußere Ableitung sind zu multiplizieren
[mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*e^{\wurzel{x}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 17.05.2009 | | Autor: | TeamBob |
und was genau kommt da raus wenn ich
[mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}e^{\wurzel{x}} [/mm]
zusammenrechne?
Und das ist dann u' und dann bloss noch produktregel anwenden
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Hallo,
> und was genau kommt da raus wenn ich
> [mm]\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}e^{\wurzel{x}}[/mm]
> zusammenrechne?
>
Nix das kannst du nicht zusammen rechnen. Das ist deine u'. Nicht mehr und nicht weniger.
> Und das ist dann u' und dann bloss noch produktregel
> anwenden
Ja
Gruß
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Mann könnte wegen der Übersichtlichkeit zurücktransformieren.
Generell hast du nun den ersten Teil abgeleitet, nun gilt aber für das Produkt:
f(x) = u(x) * v(x)
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
u, u' und v sind bekannt:
u(x) = [mm] e^\wurzel{x} [/mm] ; v(x) = sin3x
u'(x) = [mm] e^{\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2} [/mm]
v' wieder äussere Ableitunf mal innerer Ableitung:
v'(x) = cos(3x)*3
Einsetzen, vereinfachen, fertig...
Es sei denn ich hätte was übersehen.
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