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Ableitungen bei e-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Do 10.03.2005
Autor: MartinF

Hallo!
Kann mir jemand helfen und mir detailliert sagen, wie man folgende Funktion ableitet und die Stammfunktion bildet. Die normale Ableitung der e-Funktion kann ich. Wie ist das, wenn ein Teil in der Klammer steht?

f(x)= [mm] (x-2)*e^x [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitungen bei e-Fkt.: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Do 10.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Martin,

[willkommenmr] !!


$f(x) \ = \ [mm] (x-2)*e^x$ [/mm]

Zunächst einmal die Ableitung.
Da mußt Du mit der MBProduktregel arbeiten: [mm] $\left( u * v \right)' [/mm] \ = \ u'*v + u*v'$

Für unsere Aufgabe heißt das:

$f'(x) \ = \ [mm] \left[ \ \underbrace{(x-2)}_{=u} * \underbrace{e^x}_{=v} \ \right]' [/mm] \ = \ ...$



Für die Integration (Bildung der Stammfunktion) erst das Produkt ausmultiplizieren:

$f(x) \ = \ (x-2) * [mm] e^x [/mm] \ = \ [mm] x*e^x [/mm] - [mm] 2*e^x$ [/mm]

Der 2. Term dürfte ja kein Problem darstellen.
Für den 1. Term mußt Du mit der partiellen Integration arbeiten:

[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {u*v' \ dx} \ = \ u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u'*v \ dx}$

Für unsere Aufgabe solltest Du wählen:
$u \ = \ x$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $u' \ = \ ...$
$v' \ = \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm]   $v \ = \ ...$


Kommst Du nun alleine weiter?
Poste doch mal Deine Ergebnisse ...

Grüße
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitungen bei e-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 10.03.2005
Autor: MartinF

Danke schon mal für die erste Antwort!

Beim Ableiten mit der Produktregel habe ich

f`(x)= [mm] 1*e^x+(x-2)*e^x [/mm]

Leider mache ich beim Zusammenfassen häufig Fehler. Kannst du mir hieran besipielhaft zeigen, wie man das Zusammenfassen würde?

Für die Stammfunktion habe ich das raus:

F(x)= 1/2 [mm] x²*e^x-2x*e^x [/mm]
also: F(x)= [mm] e^x(1/2 [/mm] x²-2x)
Bezug
                        
Bezug
Ableitungen bei e-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Do 10.03.2005
Autor: McBlack

Hi!

Ich rechne dir mal die Ableitung vor, wie ich sie gerechnet hätte:

[mm] f'(x)=e^x+e^x*(x-2)=e^x*(1+x-2)=e^x*(x-1)[/mm]

oder so:

[mm] f'(x)=e^x+e^x*(x-2)=e^x+x*e^x-2e^x=x*e^x-e^x=e^x*(x-1)[/mm]

...und die Rechnung für die Stammfunktion:

[mm] f(x)=e^x*x-2e^x F(x)=\integral (e^x*x) dx -\integral 2e^x dx [/mm]

das erste Integral in einer Nebenrechnung:

[mm] \integral (\underbrace{e^x}_{=v'(x)} *\underbrace{x}_{u(x)})dx=x*e^x-\integral (e^x*1)dx=x*e^x-e^x [/mm]

Dieses Integral dann eingesetzt:

[mm] F(x)=x*e^x-e^x-2e^x=x*e^x-3e^x=e^x(x-3) [/mm]

Müsste eigentlich stimmen!

Gruß


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