Ableitungen von Ln-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Leite ab:
1.) f(x)= [mm] \bruch{1}{lnx} [/mm]
2.) f(x)= [mm] \bruch{lnx}{x} [/mm]
3.) f(x)= [mm] \bruch{1+x}{ln(1-x)} [/mm] |
Hallo. Ich komme mit den Ableitungen der oben aufgeführten Ln-Funktionen nicht so gut zurecht.
Bei der ersten Aufgabe habe ich gehört, dass man aus der Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{lnx} [/mm] auch einfach lnx^-1 schreiben kann. Aber warum ^-1? Folgend lautet die erste Ableitung bei mir dann:
f(x)= [mm] (-1)*\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
Ist das so richtig?
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Bei Aufgabe 2 habe ich die Quotientenregel angewendet:
f(x)= [mm] \bruch{lnx}{x} [/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{1/x*x-lnx*1}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1-lnx}{x^2} [/mm]
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Bei der dritten Aufgabe komme ich gar nicht weiter. Muss ich erst den Nenner ausmultiplizieren, um danach die Quotientenregel anzuwenden?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen,
LG
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Hallo dudu93,
1. Dein Resultat stimmt nicht. Verwende hier die Kettenregel. [mm] ln(x)^{-1} [/mm] kannst du ableiten wie [mm] (x+1)^{-1}.
[/mm]
2. richtig
3. das kannst du mit der quotientenregel oder wie jeden Bruch auch mit der produktregel ausrechnen, wobei für den Nenner nochmal die Kettenregel angewendet wird.
Als Lösung bekomme ich hier :
[mm] $\frac{ln(1-x)+\frac{1+x}{1-x}}{ln(1-x)^{2}}$
[/mm]
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort. Also bei Aufgabe 1 habe ich jetzt folgendes rausbekommen:
f(x)= [mm] \bruch{1}{lnx} [/mm] = (lnx)^-1
f'(x)= [mm] -1*(lnx)^-2*\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] lnx^-2*\bruch{1}{x} [/mm]
Aber woher weiß ich denn nun, dass man [mm] \bruch{1}{lnx} [/mm] auch als (lnx)^-1 schreiben kann?
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Bei der dritten Aufgabe komme ich trotzdem nicht weiter.
Die erste Ableitung lautet bei mir:
f'(x)= [mm] \bruch{1*ln(1-x)-1+x*ln(-1x)*(-1)}{ln(1-x)^2}
[/mm]
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Hallo,
1. [mm] ln(x)^{-1}=\frac{1}{ln(x)} [/mm] folgt aus den Potenzgesetzen. Die Ableitung lautet [mm] (ln(x)^{-1})'= -(1)\cdot (1)\cdot ln(x)^{-2}. [/mm]
3. Die Ableitung von (ln(1-x))' = [mm] -\frac{1}{1-x}, [/mm] das Minus kommt von der inneren Ableitung. Die Ableitungen in die Quotientenregel einsetzen.
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Okay, die Lösung von Aufg. 3 habe ich jetzt raus. Vielen Dank.
Nun wollte ich noch bei den folgenden Aufgaben etwas fragen.
a.) f(x)= [mm] ln\wurzel{2}x
[/mm]
Für die Wurzel kann man ja auch ^0,5 schreiben.
Durch das Logarithmusgesetz habe ich die 0,5 vorgeholt:
0,5ln(2x)
Die Ableitung von mir ist dann:
f'(x)= [mm] \bruch{0,5}{2x}*2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm]
Allerdings soll diese Lösung falsch sein. Rauskommen soll nämlich [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Aber wo liegt mein Fehler?
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Zum Schluss wollte ich noch fragen, ob man die folgende Funktion auch durch die Kettenregel ableiten kann:
f(x)= [mm] ln\wurzel{1-x} [/mm] = [mm] ln(1-x)^0,5 [/mm] = 0,5ln(1-x)
Meine Lösung dazu:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-x}*(-1) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2-2x} [/mm]
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Hallo
a) bedenke NUR die 2 steht unter der Wurzel also [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}x}*\wurzel{2}
[/mm]
bei der zweiten Aufgabe hast du doch Kettenregel gemacht, äußere Ableitung mal innere Ableitung, deine Ableitung ist korrekt,
beachte immer den Definitionsbereich
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 09.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Anwort. Die Aufg. a habe ich nun verstanden.
Bei Aufg. b) meinte ich mit der Kettenregel das hier:
f(x)= [mm] ln\wurzel{1-x}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2}*(1-x)^-0,5*(-1)
[/mm]
Ist es nicht so, dass zuerst die äußere Ableitung, also hier 0,5 wegen der Wurzel, dann der Wert in der Klammer. Der Exponent verkleinert sich um 1. Und dann noch mit der inneren Ableitung multipliziert. Kann man die Aufg. auch mit diesem Weg berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mi 09.02.2011 | | Autor: | QCO |
Deine Lösung von oben stimmt erstmal:
[mm]f' = \bruch{1}{2*(x-1)}[/mm]
Du kannst die Kettenregel immer anwenden, egal in welche Form du deine Anfangsgleichung gebracht hast. Wenn eine Funktion mehrmals 'verkettet' ist, musst du die Kettenregel aber rekursiv, also mehrmals anwenden.
Beispiel: Leite [mm]f = ln(\wurzel{1-x})[/mm] ab.
1) [mm](ln u)' = \bruch{1}{u}[/mm] Also [mm]f' = \bruch{1}{(\wurzel{1-x})'}[/mm]
2) Den inneren Term mit der Wurzel musst du nochmal mit Kettenregel ableiten.
[mm](\wurzel{1-x})' = \bruch{1}{2} * ( (1-x)' )^{-\bruch{1}{2}}[/mm].
3) Jetzt wenden wir die Kettenregel zum letzten mal auf 1-x an: [mm](1-x)' = -1[/mm].
4) Zusammengefasst:
[mm]f' = \bruch{1}{(\wurzel{1-x})'} = \bruch{1}{\wurzel{1-x}} * \bruch{1}{2} * ( (1-x)' )^{-\bruch{1}{2}} = \bruch{1}{\wurzel{1-x}} * \bruch{1}{2} * (1-x)^{-\bruch{1}{2}} * -1[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hi,
man müsste hier eigentlich noch die Stellen ausschließen, wo die Funktionen nicht diffbar ist:
a) x=0,1
b) x=0
c) x=0,1
Gruß,
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 14.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
Hallo. Ich habe jetzt noch mal zur Übung einige Funktionen abgeleitet. Könnt ihr bitte mal schauen, ob die Ableitungen so richtig sind:
a)
f(x)=xlnx
[mm] f'(x)=1*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{x} [/mm]
b)
f(x)=x^2lnx
[mm] f'(x)=2x*\bruch{1}{x}=\bruch{2x}{x} [/mm]
c)
[mm] f(x)=\wurzel{x}lnx
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{wurzel{x}}{\bruch{1}{x}} [/mm]
d)
[mm] f(x)=\wurzel{2x}lnx
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{Wurzel 2}{1 durch x} [/mm]
e)
[mm] f(x)=\wurzel{x}ln2x
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2 Wurzel x}{2x} [/mm]
f)
[mm] f(x)=\bruch{1}{lnx} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{lnx-1/x}{lnx^2} [/mm]
Danke im voraus!
LG
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Hallo,
leider ist keine Aufgabe richtig!
Zur ersten:
f(x)=x*ln(x)
Produktregel: f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
u(x)=x
u'(x)=1
v(x)=ln(x)
[mm] v'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x)=?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Mo 14.02.2011 | | Autor: | dudu93 |
f'(x)=lnx+1
Ich habe es verstanden, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo,
> f'(x)=lnx+1
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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