Ableitungsregeln der E-Funkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Ich87 |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= 2x* [mm] (e^2-x) [/mm] und [mm] g(x)=x^2*(e^2-x). [/mm] |
Wie komme ich dann auf die jeweiligen Ableitungen (bitte nich auslachen):
f'(x) = [mm] e^2-x [/mm] * (2-2x)
f''(x)= [mm] e^2-x [/mm] * (2x-4)
f'''(x)= [mm] e^2-x [/mm] * (6-2x)
g'(x) = [mm] e^2-x [/mm] * [mm] (2x-x^2)
[/mm]
g''(x) = [mm] e^2-x [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - 4x +2)
Das ist jedenfalls eine Teilaufgabe der NRW Probeklausur im Internet. Wir haben das im Unterricht nicht wirklich gemacht. Ich kenne nur:
[mm] (e^x)' [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
und
[mm] a*e^k*x [/mm] = [mm] a*k*e^k*x
[/mm]
Mit welchen Ableitungsregeln muss ich vorgehen? Wäre super, wenn mir das jemand verständlich erklären könnte, wird wahrscheinlich gar nicht so schwer sein, aber ich als Mathe-looser ;)... Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ich87,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Soll das $x_$ jeweils auch noch im Exponenten der e-Funktion stehen?
Also: [mm]f(x)=2x*e^{2-x}[/mm] bzw. [mm]g(x)=x^2*e^{2-x}[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Und ausgelacht wird hier sowieso keiner ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Ich87 |
Danke, für die Begrüßung.
Und ja, genauso soll es sein! ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
du hast also: f(x)=2x*e^(2-x) und [mm] g(x)=x^2*e^{2-x}
[/mm]
zu f(x): Die benötigte Regel für das Ableiten der e-Funktion lautet "Kettenregel". dabei steht dann e(...) für die aüßere Funktion und 2-x für die inner Funktion. Desweiteren muss man wegen den Faktor 2x auch noch die Produktregel beachten:
Im einzelnen: Wir schauen erstmal auf e^(2-x), das leiten wir jetzt nach der Kettenregel ab und erhalten (-1)*e^(2-x). wie kommt das zu stande?
Die Ableitung der Inneren Funktion 2-x ist -1. Die e-Funktion ändert sich beim Ableiten nicht, also hat man zusammen "Inne mal aüßere Ableitung" -e^(2-x)
Jetzt kommt noch der Faktor 2x ins Spiel:
Betracht hier 2x als eine Funktion und e^(2-x) als eine andere Funktion, dann ist klar, dass du die Produktregel anwenden musst:
Sie lautet bekanntlich (ab)´(x)=a´(x)*b(x)+b´(x)*a(x)
dabei setzt du nun a(x)=2x und b(x)=e^(2-x)
[mm] \Rightarrow [/mm] a´(x)=2 und b´(x)= -e^(2-x), das haben wir ja oben ausgerechnet nach der Kettenregel.
Macht also zusammen nach der Produktregel :
2e^(2-x)-2x*e^(2-x)=(2-2x)*e^(2-x)
Verinnerliche mal diese Lösung und versuche die anderen Aufgaben selbst, sie gehen alle nach dem gleich Prinzip.
für f´´(x) hättest du dann für die Produktregel a(x)= (2-2x) und b=(e^(2-x)
b´(x) ist dabei das gleiche wie oben und a´(x) ist natürlich -2x
Den Rest schaffst du sicherlich dann selbst.
Bei der Funktion g(x) wählst du für die Produktregel [mm] a(x)=x^2 [/mm] und b(x)= e^(2-x), wobei b(x) das gleich ist wie bei f(x) und sich auch beiden Ableitungen nie ändern wird.
wobei b(x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Ich87 |
Vielen lieben Dank, das wird mir definitiv weiterhelfen. Kettenregel und Produktregel kenne ich, nur haben wir diese noch nicht an E-Funktionen durchgeführt. Werde es mir jetzt noch mal genauer verdeutlichen.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Übringens auch wenn dir mal die Funktion [mm] sin(x^2) [/mm] begegnet und du die ableiten sollst, muss auch hier die Kettenregel angewendet werden. Also sin ist äußere Funktion und [mm] x^2 [/mm] die innere
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