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| Aufgabe | | Warum gilt | [mm] \integral_{n}^{n+1}{1/n^s - 1/t^s dt}| \le sup_{t\in [n,n+1]}|1/n^s [/mm] - [mm] 1/t^s| [/mm] für Re(s)>0? |
Mein Ansatz:
Den ersten Summanden des Integrals kann man so integrieren und erhält wieder [mm] 1/n^s. [/mm] Der Zweite Summand integriert und eingesetz ergibt:
[mm] \bruch{1}{(1-s)}((n+1)^{1-s}-n^{1-s})
[/mm]
Ist der Weg richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warum gilt | [mm]\integral_{n}^{n+1}{1/n^s - 1/t^s dt}| \le sup_{t\in [n,n+1]}|1/n^s[/mm]
> - [mm]1/t^s|[/mm] für Re(s)>0?
>
> Mein Ansatz:
> Den ersten Summanden des Integrals kann man so integrieren
> und erhält wieder [mm]1/n^s.[/mm] Der Zweite Summand integriert und
> eingesetz ergibt:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-s)}((n+1)^{1-s}-n^{1-s})[/mm]
>
> Ist der Weg richtig?
Ist f:[a,b] [mm] \to \IC [/mm] beschränkt und integrierbar, so gilt mit M:=sup [mm] \{|f(t)|: t \in [a,b] \}:
[/mm]
[mm] $|\integral_{a}^{b}{f(t) dt}| \le \integral_{a}^{b}{|f(t)| dt} \le \integral_{a}^{b}{M dt}=M(b-a)$
[/mm]
Bei Dir ist a=n, b=n+1 und [mm] f(t)=1/n^s [/mm] - [mm] 1/t^s [/mm]
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danke, eine weitere ungeleichung sehe ich auch noch nicht:
[mm] sup_{t\in [n,n+1]}\integral_{n}^{t}{| s/x^{s+1} | dx} \le sup_{t\in [n,n+1]}|\bruch{s}{t^{s+1}}|
[/mm]
ich habe hier deinen trick versucht, aber dann komm ich zu einem ausdruck:
[mm] sup_{t\in [n,n+1]}|sup_{x\in [n,t]}|s/x^{s+1}||
[/mm]
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Hallo,
> danke, eine weitere ungeleichung sehe ich auch noch nicht:
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> [mm]sup_{t\in [n,n+1]}\integral_{n}^{t}{| s/x^{s+1} | dx} \le sup_{t\in [n,n+1]}|\bruch{s}{t^{s+1}}|[/mm]
Es gilt hier (Integrand nichtnegativ)
[mm] sup_{t\in [n,n+1]}\integral_{n}^{t}{| s/x^{s+1} | dx}=\integral_{n}^{n+1}{| s/x^{s+1} | dx}
[/mm]
Das kann wie bei deiner anderen Frage abgeschätzt werden.
[mm] \ldots\le\integral_{n}^{n+1}{ \sup_{t\in [n,n+1]}\left|\bruch{s}{t^{s+1}}\right|dx}=((n+1)-n)\sup_{t\in [n,n+1]}\left|\bruch{s}{t^{s+1}}\right|
[/mm]
>
> ich habe hier deinen trick versucht, aber dann komm ich zu
> einem ausdruck:
>
> [mm]sup_{t\in [n,n+1]}|sup_{x\in [n,t]}|s/x^{s+1}||[/mm]
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Di 08.05.2012 | | Autor: | lukas10000 |
Also ich habe eine abschätzung gefunden:
[mm] (n+1)^{-s} [/mm] < [mm] \integral_{n}^{n+1}{x^{-s} dx} [/mm] < [mm] n^{-s}
[/mm]
1) Wie sehe ich diese Abschätzung? (hat irgendetwas mit monoton fallend zu tun glaub ich)
2) in meinem sind die Grenzwertevertauscht
Okay 1) habe ich mir klar gemacht, aber 2) sehe ich noch nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 09.05.2012 | | Autor: | lukas10000 |
Betrachtet man nun alle Abschätzungen zusammen hat man:
[mm] \integral_{n}^{n+1}{1/n^s - 1/t^s dt}| \le sup_{t\in [n,n+1]}|1/n^s [/mm] - [mm] 1/t^s| \le
[/mm]
[mm] sup_{t\in [n,n+1]}\integral_{n}^{t}{| s/x^{s+1} | dx} \le sup_{t\in [n,n+1]}|\bruch{s}{t^{s+1}}|
[/mm]
Ginge es auch so ab dem zweiten Term:(?)
[mm] sup_{t\in [n,n+1]}|1/n^s [/mm] - [mm] 1/t^s| [/mm] = [mm] sup_{t\in [n,n+1]}|s| |\integral_{n}^{t}{ 1/x^{s+1} dx}| \le sup_{t\in [n,n+1]}|s/t^{s+1}| [/mm] mit der Begründung dass die Funktion [mm] 1/x^{s+1} [/mm] monoton fallend ist, oder gilt das nicht wegen der komplexen Zahl s?
(Wie sieht der Graph von [mm] 1/x^{s+1} [/mm] eigentlich aus, habe mir den graphen wie 1/x gedacht)
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