Abschätzung einer Partialsumme < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollst. Induktion für alle n [mm] \in \IN^{+}:
[/mm]
(*) [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{j}} \le 2\wurzel{n}-1 [/mm] |
Guten Abend! Also folgendes hab ich soweit:
Vollständige Induktion über n:
Induktionsanfang: n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1 ✔
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{j}} \le 2\wurzel{n+1}-1
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{j}}\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1}-1
[/mm]
[mm] \gdw^{(\*)} 2\wurzel{n}-1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1}-1 [/mm] | +1
[mm] \gdw 2\wurzel{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1} [/mm] | [mm] *\wurzel{n+1} [/mm] (>1)
[mm] \gdw 2\wurzel{n} \wurzel{n+1} [/mm] + 1 [mm] \le [/mm] 2n + 2
[mm] \gdw 2\wurzel{n} \wurzel{n+1} \le [/mm] 2n + 1
[mm] \gdw \wurzel{n} \wurzel{n+1} \le [/mm] n + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Jetzt will ich irgendwie die linke Seite nach oben abschätzen oder die rechte nach unten. Aber alles was ich ausprobiere geht schief, vermutlich die benutzen Abschätzungen einfach zu grob sind.
Hat jemand einen Tipp? Oder hab ich bereits etwas wichtiges übersehen?
Vielen Dank!
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Hallo!
> Beweisen Sie mittels vollst. Induktion für alle n [mm]\in \IN^{+}:[/mm]
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> (*) [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{j}} \le 2\wurzel{n}-1[/mm]
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> Guten Abend! Also folgendes hab ich soweit:
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> Vollständige Induktion über n:
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> Induktionsanfang: n=1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 1 ✔
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> Induktionsschritt n [mm]\to[/mm] n+1:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{j}} \le 2\wurzel{n+1}-1[/mm]
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> [mm]\gdw \left(\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{j}}\right)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1}-1[/mm]
> [mm]\gdw^{(\*)} 2\wurzel{n}-1[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1}-1[/mm] | +1
> [mm]\gdw 2\wurzel{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \le 2\wurzel{n+1}[/mm]
> | [mm]*\wurzel{n+1}[/mm] (>1)
> [mm]\gdw 2\wurzel{n} \wurzel{n+1}[/mm] + 1 [mm]\le[/mm] 2n + 2
> [mm]\gdw 2\wurzel{n} \wurzel{n+1} \le[/mm] 2n + 1
> [mm]\gdw \wurzel{n} \wurzel{n+1} \le[/mm] n + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Eine Möglichkeit ist folgende (3. Binomi):
[mm] $\sqrt{n}\sqrt{n+1} [/mm] - n = [mm] \frac{n*(n+1) - n^2}{\sqrt{n}*\sqrt{n+1} + n} [/mm] = [mm] \frac{n}{\sqrt{n}\sqrt{n+1} + n} \le \frac{n}{n+n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
In der letzten Abschätzung wird der Nenner kleiner gemacht (n+1 -> n), also wird der Bruch größer.
Grüße,
Stefan
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