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| Aufgabe | Sei [mm] $f:U_R(0)\to \IC$ [/mm] eine injektive holomorphe Funktion. Zeige für $0<r<R$:
a. ) [mm] $\mathcal{L}^2(f(U_r(0)))=\int_{U_r(0)} [/mm] |f'(x+iy)< [mm] \; d\mathcal{L}^2$
[/mm]
b.) folgere aus a) $ [mm] \mathcal{L}^2(f(U_r(0))) \ge \pi r^2 |f'(0)|^2$ [/mm] |
Hallo,
die Teilaufgabe a.) habe ich bereits gelöst. Ich komme jedoch bei b.) nicht auf die gewünscht Abschätzung.
Würde ich [mm] $|f'(p)|\ge [/mm] |f'(0)| $ zeigen können wäre ich ja fertig, doch ich wüsste nicht warum das allgemein gelten sollte.
Ich muss wahrscheinlich Cauchy verwenden
[mm] $f'(0)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z^2} \; [/mm] dz$
Ich komme aber nicht zum Ziel....
Danke
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 18.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Sei [mm]f:U_R(0)\to \IC[/mm] eine injektive holomorphe Funktion.
> Zeige für [mm]0
>
> a. ) [mm]\mathcal{L}^2(f(U_r(0)))=\int_{U_r(0)} |f'(x+iy)< \; d\mathcal{L}^2[/mm]
>
> b.) folgere aus a) [mm]\mathcal{L}^2(f(U_r(0))) \ge \pi r^2 |f'(0)|^2[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Teilaufgabe a.) habe ich bereits gelöst. Ich komme
> jedoch bei b.) nicht auf die gewünscht Abschätzung.
>
> Würde ich [mm]|f'(p)|\ge |f'(0)|[/mm] zeigen können wäre ich ja
> fertig, doch ich wüsste nicht warum das allgemein gelten
> sollte.
> Ich muss wahrscheinlich Cauchy verwenden
> [mm]f'(0)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z^2} \; dz[/mm]
>
> Ich komme aber nicht zum Ziel....
Das sieht mir sehr nach einer Folgerung aus der Mittelwerteigenschaft harmonischer (und damit auch holomorpher) Funktionen aus, vielleicht noch durch Hinzunehmen des Maximumsprinzips.
Viele Grüße
Rainer
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