Abschlossenheit in L^1 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 03.07.2013 | | Autor: | kalor |
Hallo
Ich habe zwei Mengen und will gerne zeigen, dass eine abgeschlossen ist in [mm] $L^1$, [/mm] wobei wir ein endliches Mass [mm] $\mu$ [/mm] haben. Für ein fixes [mm] $f\in L^\infty$ [/mm] sei [mm] $A:=\{g\in L^1:\int fgd\mu \le 0\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{g\in A:\int f d\mu =1\}$. [/mm] Ich will eigentlich zeigen, dass $B$ abgeschlossen ist in [mm] $L^1$. [/mm] Für das habe ich zuerst gezeigt:
$A$ ist abgeschlossen in [mm] $L^1$: [/mm] Sei [mm] $(g_n)\subset [/mm] A$ mit [mm] $g_n\to [/mm] g$ in [mm] $L^1$, [/mm] dann gilt zuerst einmal, dass [mm] $fg_n\to [/mm] fg $ in [mm] L^1$, [/mm] da
[mm] $$\int |f||g_n-g|d\mu \le \|f\| \int |g_n-g|d\mu [/mm] =0$$
für [mm] $n\to \infty$. [/mm] Naja, und wir haben: [mm] $\int [/mm] fg [mm] d\mu=\int [/mm] fg [mm] -fg_n +fg_nd\mu \le \int |fg-fg_n|d\mu [/mm] =0$. Somit ist $A$ abgeschlossen in [mm] $L^1$.
[/mm]
Nun wenn ich eine folge [mm] $(g_n)$ [/mm] in $B$ habe, die gegen $g$ in [mm] $L^1$ [/mm] konvergiert, dann weiss ich sicher, dass [mm] $g\in [/mm] A$ ist. Aber es gilt ja: [mm] $|\|g_n\|-\|g\||\le |\|g_n-g\||=0$, [/mm] also [mm] $\|g_n\|\to\|g\|=1$. [/mm]
Stimmt mein Beweis, dass $B$ abgeschlossen in [mm] $L^1$ [/mm] ist?
Danke
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 20.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo
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> Ich habe zwei Mengen und will gerne zeigen, dass eine
> abgeschlossen ist in [mm]L^1[/mm], wobei wir ein endliches Mass [mm]\mu[/mm]
> haben. Für ein fixes [mm]f\in L^\infty[/mm] sei [mm]A:=\{g\in L^1:\int fgd\mu \le 0\}[/mm]
> und [mm]B:=\{g\in A:\int f d\mu =1\}[/mm]. Ich will eigentlich
> zeigen, dass [mm]B[/mm] abgeschlossen ist in [mm]L^1[/mm]. Für das habe ich
> zuerst gezeigt:
>
> $A$ ist abgeschlossen in [mm]$L^1$:[/mm] Sei [mm]$(g_n)\subset[/mm] A$ mit
> [mm]$g_n\to[/mm] g$ in [mm]$L^1$,[/mm] dann gilt zuerst einmal, dass [mm]$fg_n\to[/mm]
> fg $ in [mm]L^1$,[/mm] da
>
> [mm]\int |f||g_n-g|d\mu \le \|f\| \int |g_n-g|d\mu =0[/mm]
So, und damit bist du doch fast fertig: das gleiche gilt ja auch wenn [mm] $g_n \in [/mm] B$ ist fuer alle $n$, womit du [mm] $g_n [/mm] f [mm] \to [/mm] g f$ bekommst. Damit gilt auch $1 = [mm] \int g_n [/mm] f [mm] \; d\mu \to \int [/mm] g f [mm] \; d\mu$, [/mm] womit $g [mm] \in [/mm] B$ ist.
LG Felix
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