Abschluss, Innere, Beweis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Fr 13.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich gehe gerade den Forster durch, hier wird für [mm] (X,\tau) [/mm] topologischer Raum definiert:
[mm] Y^o [/mm] := [mm] Y\setminus \partial [/mm] Y
[mm] \overline{Y} [/mm] := Y [mm] \cup \partial [/mm] Y
Wobei [mm] \partial [/mm] Y der Rand von Y ist: x [mm] \in \partial [/mm] Y [mm] \gdw [/mm] für alle Umgebungen V von x : V [mm] \cap [/mm] Y [mm] \not= \emptyset \wedge [/mm] V [mm] \cap (X\setminus [/mm] Y) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Die Übung:
Sei [mm] (X,\tau) [/mm] ein topologischer Raum und Y [mm] \subseteq [/mm] X eine Teilmenge. Man zeige für das Innere und die abgeschlossene Hülle von Y:
i) [mm] Y^o [/mm] = [mm] \bigcup\{U:U\subseteq Y \mbox{und} U \mbox{offen in} X\},
[/mm]
ii) [mm] \overline{Y}=\bigcap\{A:A \supseteq Y \mbox{und} A \mbox{abgeschlossen in} X\}. [/mm] |
Zu i)
[mm] \subseteq [/mm] )
y [mm] \in Y\setminus\partial [/mm] Y, d.h. [mm] \exists [/mm] Umgebung V von y sodass V [mm] \cap (X\setminus Y)=\emptyset
[/mm]
ZZ.: [mm] \exists [/mm] O mit y [mm] \in [/mm] O mit O [mm] \subseteq [/mm] Y, O offen
Da V Umgebung ist [mm] \exists [/mm] U [mm] \in \tau: [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V
Da V [mm] \cap (X\setminus [/mm] Y) = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] Y
D.h. ich wähle O:=U
[mm] \supseteq [/mm] )
[mm] y\in [/mm] U mit U [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \wedge [/mm] U [mm] \in \tau
[/mm]
y [mm] \in [/mm] Y ist klar
ZZ.: y [mm] \not\in \partial [/mm] Y d.h. [mm] \exists [/mm] Umgebung V von y sodass V [mm] \cap (X\setminus Y)=\emptyset
[/mm]
Wähle V:=U, da U offen ist und y [mm] \in [/mm] U ist U eine Umgebung von y und da U [mm] \subseteq [/mm] Y folgt auch U [mm] \cap (X\setminus Y)\not= \emptyset
[/mm]
Nun komme ich bei ii) nicht weiter!
[mm] \subseteq) [/mm]
y [mm] \in \overline{Y} [/mm] d.h. y [mm] \in [/mm] Y [mm] \vee [/mm] y [mm] \in \partial [/mm] Y
ZZ.: [mm] \exists [/mm] A abgeschlossen in X (d.h. [mm] X\setminus [/mm] A offen), A [mm] \supseteq [/mm] Y: y [mm] \in [/mm] A
Ich hab mit Fallunterscheidung (y [mm] \in [/mm] Y oder y [mm] \in \partial [/mm] Y) herumprobiert, hab es aber leider nicht so richtig kapiert wie ich A wählen soll.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Fr 13.03.2015 | | Autor: | hippias |
zu ii) Nein. So musst Du den Beweisteil anfangen: Sei $A$ eine beliebige abgeschlossene Menge mit [mm] $Y\subseteq [/mm] A$.Jetzt musst Du zeigen, dass [mm] $\bar{Y}\subseteq [/mm] A$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 13.03.2015 | | Autor: | sissile |
Stimmt!Mein Fehler..Danke
ii)
[mm] \subseteq)
[/mm]
Sei A eine beliebige abgeschlossene Menge mit Y [mm] \subseteq [/mm] A.
ZZ.: [mm] \overline{Y} \subseteq [/mm] A
y [mm] \in \overline{Y} [/mm] d.h. y [mm] \in [/mm] Y [mm] \vee [/mm] y [mm] \in \partial [/mm] Y
Fall 1: y [mm] \in [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] A
Fall 2: y [mm] \in \partial [/mm] Y, d.h. dass in jeder Umgebung von y sowohl ein Punkt aus Y als auch ein Punkt von [mm] X\setminus [/mm] Y liegt.
Ang y [mm] \not\in [/mm] A, d.h. y [mm] \in X\setminus [/mm] A. Da A abgeschlossen ist ist [mm] X\setminus [/mm] A offen, d.h. X [mm] \setminus [/mm] A ist insbesondere eine Umgebung von y. Das bedeutet X [mm] \setminus [/mm] A muss Punkte mit Y gleich haben. Widerspruch zu Y [mm] \subseteq [/mm] A.
[mm] \supseteq)
[/mm]
Sei A bel. abgeschlossene Menge mit Y [mm] \subseteq [/mm] A
ZZ.: A [mm] \subseteq \overline{Y}
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] A, angenommen x [mm] \not\in [/mm] Y, d.h. x [mm] \in X\setminus [/mm] Y.
[mm] X\setminus [/mm] A ist offen da A abgeschlossen. Da Y [mm] \subseteq [/mm] A gilt: [mm] X\setminus [/mm] A [mm] \subseteq X\setminus [/mm] Y
Hier komme ich leider nicht weiter...Würde mich freuen, wenn du mir da nochmals helfen könntest.
LG,
sissi
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Hallo sissile,
> ii)
> [mm]\subseteq)[/mm]
> Sei A eine beliebige abgeschlossene Menge mit Y [mm]\subseteq[/mm]
> A.
> ZZ.: [mm]\overline{Y} \subseteq[/mm] A
> y [mm]\in \overline{Y}[/mm] d.h. y [mm]\in[/mm] Y [mm]\vee[/mm] y [mm]\in \partial[/mm] Y
> Fall 1: y [mm]\in[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] A
> Fall 2: y [mm]\in \partial[/mm] Y, d.h. dass in jeder Umgebung von
> y sowohl ein Punkt aus Y als auch ein Punkt von [mm]X\setminus[/mm]
> Y liegt.
> Ang y [mm]\not\in[/mm] A, d.h. y [mm]\in X\setminus[/mm] A. Da A
> abgeschlossen ist ist [mm]X\setminus[/mm] A offen, d.h. X [mm]\setminus[/mm]
> A ist insbesondere eine Umgebung von y. Das bedeutet X
> [mm]\setminus[/mm] A muss Punkte mit Y gleich haben. Widerspruch zu
> Y [mm]\subseteq[/mm] A.
Das ist nun alles richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> [mm]\supseteq)[/mm]
> Sei A bel. abgeschlossene Menge mit Y [mm]\subseteq[/mm] A
> ZZ.: A [mm]\subseteq \overline{Y}[/mm]
Das wirst du nicht zeigen können.
Schließlich soll [mm] $\overline{Y}$ [/mm] ja der Schnitt über alle abgeschlossenen Mengen $A$ sein, die $Y$ enthalten. Im Allgemeinen wird dann keine abgeschlossene Menge $A [mm] \supset [/mm] Y$ Teilmenge von [mm] $\overline{Y}$ [/mm] sein, da [mm] $\overline{Y}$ [/mm] ja sozusagen weniger ist als jedes $A$.
Du musst hier nochmal einen Trick benutzen:
Zeige einfach, dass [mm] $\overline{Y}$ [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge ist, die $Y$ enthält.
Dann ist sicher [mm] $\bigcap \{A: A \supset Y \mbox{ abgeschlossen }\} \subset \overline{Y}$, [/mm] weil ja ein Element in dem Schnitt gerade [mm] $\overline{Y}$ [/mm] ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Sa 14.03.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank!
Schönes Wochenende,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 13.03.2015 | | Autor: | fred97 |
i) ist O.K.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Fr 13.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke.
LG,
sissis
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