Absolute Konvergenz? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:17 Do 02.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hallo!
Folgende Frage:
Dei Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{\sin n}{n} [/mm] konvergiert, wie man zeigen kann. Ich vermute aber nun, dass sie nicht absolut konvergiert, (Denn es existiert auch [mm] \int_0^\infty \bruch{\sin x}{x}dx, [/mm] aber nicht [mm] \int_0^\infty |\bruch{\sin x}{x}|dx).
[/mm]
Ich finde aber keinen Beweis. Kann mir jemand hellfen?
Gruß
dieter
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Dieter!
Erst einmal möchte ich dir für dein bisheriges großes Engagement im Matheraum danken; ich habe registriert, dass du zahlreiche sehr gute Antworten gegeben hast.  ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Weiter so! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Jetzt zu deinem Problem. Mir gelingen noch nicht die Beweisdetails, aber ich kann dir ja mal einen Anstoß geben.
Kannst du zeigen, dass für alle [mm] $\delta>0$ [/mm] die Menge
[mm] $M_{\delta}:=\{(n,k)\in \IN \times \IZ\, : \, \vert n - \frac{\pi}{2}-2k\pi \vert < \delta\}$
[/mm]
unendlich viele Elemente enthält?
Dann könnte man die absolute Divergenz der Reihe zeigen, in dem man eine geeignete Umordnung (nehme "genug" Folgenglieder aus [mm] $\pi_1^{-1}(M_{\delta}):=\{n \in \IN\, : \, \exists\, m \in \IZ\, : (n,m)\in M_{\delta}\}$ [/mm] und dann wieder eines aus [mm] $\IN \setminus \pi_1^{-1}(M_{\delta})$) [/mm] findet, so dass geeignete Teilsummanden der umsortierten Reihe immer die entsprechenden Teilsummanden der harmonischen Reihe dominieren.
Weißt du ungefähr, was ich meine, oder soll ich es näher erläutern? Kannst du das vielleicht zu Ende führen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 06.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hallo Stefan!
>
> Kannst du zeigen, dass für alle [mm]\delta>0[/mm] die Menge
>
> [mm]M_{\delta}:=\{(n,k)\in \IN \times \IZ\, : \, \vert n - \frac{\pi}{2}-2k\pi \vert < \delta\}[/mm]
>
>
> unendlich viele Elemente enthält?
>
Nein, ich wüsste nicht wie man das zeigen sollte.
> Dann könnte man die absolute Divergenz der Reihe zeigen, in
> dem man eine geeignete Umordnung (nehme "genug"
> Folgenglieder aus [mm]\pi_1^{-1}(M_{\delta}):=\{n \in \IN\, : \, \exists\, m \in \IZ\, : (n,m)\in M_{\delta}\}[/mm]
> und dann wieder eines aus [mm]\IN \setminus \pi_1^{-1}(M_{\delta})[/mm])
> findet, so dass geeignete Teilsummanden der umsortierten
> Reihe immer die entsprechenden Teilsummanden der
> harmonischen Reihe dominieren.
Ich denke, dass funktioniert so nicht, denn selbst wenn [mm]M_{\delta}[/mm] unendlich ist, so könnte [mm] $\pi_1^{-1}(M_{\delta})$ [/mm] bsw. die Menge aller Quadratzahlen sein, so dass man nie auf eine Dominanz der harmonischen Reihe kommt.
Ich glaub ich hab die Antwort jetzt aber selber: Für [mm] $\delta=\bruch{1}{2}$ [/mm] ist [mm] $M_\delta$ [/mm] offensichtlich unendlich, sogar stärker (und das braucht man): In jedem Intervall [mm] $[k\pi,(k+1) \pi]$ [/mm] existert ein [mm] $n\in \pi_1^{-1}(M_{\delta})$.
[/mm]
Anders ausgedrückt: Für alle $k$ gibt es ein [mm] $n(k)\in [k\pi,(k+1) \pi]$ [/mm] mit [mm] $\left| \bruch {\sin n(k)} {n(k)} \right| [/mm] > [mm] \bruch [/mm] {1} {2n(k)}$.
Wegen [mm] $n(k)\leq [/mm] (k+1) [mm] \pi$ [/mm] können wir aber folgern:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty \left| \bruch {\sin n} {n} \right| \geq \summe_{k=1}^\infty \left| \bruch {\sin n(k)} {n(k)} \right| \geq \summe_{k=1}^\infty \bruch {1}{2n(k)}\geq \summe_{k=1}^\infty \bruch [/mm] {1} {2 [mm] \pi [/mm] (k+1)} [mm] \geq \infty$.
[/mm]
gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:50 Di 07.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dieter!
> Ich denke, dass funktioniert so nicht, denn selbst wenn
> [mm]M_{\delta}[/mm] unendlich ist, so könnte [mm]\pi_1^{-1}(M_{\delta})[/mm] bsw. die Menge aller Quadratzahlen sein, so dass man nie auf eine Dominanz der harmonischen Reihe kommt.
Doch, doch, das hätte so auch funktioniert. Es kommt hier nur auf die Mächtigkeit der Menge an. Ich kann auch (periodisch) erst 100 Quadratzahlen wählen und dann eine Nicht-Quadratzahl, auch das ist eine gültige Umordnung der Reihe. Kennst du nicht die Hilbert-Paradoxa?
Aber dein Beweis ist sehr schön. Ich hätte mich dann anschließend eh (wie du) auf ein spezielles [mm] $\delta$ [/mm] beschränkt, wollte aber die Aussage vorher so allgemein wie möglich angehen (und bin auch nach wie vor davon überzeugt, dass die Aussage für alle [mm] $\delta>0$ [/mm] richtig ist).
Liebe Grüße
Stefan
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