Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] b_{n} [/mm] eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, so dass die Folge der Partialsummen [mm] (\summe_{k=1}^{n} b_{k}) [/mm] beschränkt ist, ferner sei [mm] a_{n}eine [/mm] monoton fallende Nullfolge. Man zeige: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}*b_{n} [/mm] konvergiert absolut. |
Hallo,
ich habe leider keine Idee, wie ich das beweisen könnte. Kann mir vielleicht mit jemand auf die Sprünge helfen???
Vielen lieben Dank schon mal.
ronja
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Ronja,
Setze [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}b_k.
[/mm]
Dann ist [mm] (s_n) [/mm] monoton wachsend (da alle [mm] b_k \ge [/mm] 0). Außerdem ist [mm] (s_n) [/mm] nach Vor. beschränkt. Das Monotoniekriterium besagt nun:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_k [/mm] ist konvergent.
[mm] (a_n) [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge, daher gilt:
0 [mm] \le a_n \le a_1 [/mm] für jedes n.
Folglich:
0 [mm] \le a_nb_n \le a_1b_n [/mm] für jedes n .
Da auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_1b_k [/mm] konvergiert, folgt aus dem Majoranten kriterium die Konvergenz von
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_kb_k [/mm] .
Da 0 [mm] \le a_nb_n [/mm] haben wir trivialerweise auch absolute Konvergenz.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
Wow, vielen Dank! Da wäre ich nie drauf gekommen!
Einen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen:
> Folglich:
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> 0 [mm]\le a_nb_n \le a_1b_n[/mm] für jedes n .
>
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> "Da auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_1b_k[/mm] konvergiert, "
WARUM konvergiert diese Summe auch? Weil diese Ungleichung gilt?
DANKE!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wow, vielen Dank! Da wäre ich nie drauf gekommen!
>
> Einen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen:
> > Folglich:
> >
> > 0 [mm]\le a_nb_n \le a_1b_n[/mm] für jedes n .
> >
> >
> > "Da auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_1b_k[/mm] konvergiert, "
>
> WARUM konvergiert diese Summe auch?
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n [/mm] eine konvergente Reihe, so konvergiert auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\alpha c_n [/mm] (wobei [mm] \alpha \in \IR)
[/mm]
FRED
Weil diese Ungleichung
> gilt?
>
> DANKE!!!!
>
> >
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