Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
| Aufgabe | Sind diese Reihen absolut konvergent?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2^2n * 3^3n)/5^3n
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n/(10n^3-100) [/mm] |
Ich weiß,dass die Beträge konvergieren müssen,damit es eine absolute Konvergenz bei Reihen gibt.
Bei a) hätte ich dann also den Betrag von (2^2n * 3^3n)/5^3n
Aber was mache ich dann?
Setze ich dann einfach nur irgendwelche (-->welche?) Werte für n ein?
Es wäre sehr nett,wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pogohasi!
Forme hier zunächst etwas um, um auf eine geometrische Reihe zu kommen:
[mm] $$\bruch{2^{2n} * 3^{3n}}{5^{3n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(2^2\right)^n * \left(3^3\right)^n}{\left(5^3\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{2^2 * 3^3}{5^3}\right)^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Nach der Umformung nehme ich dann also den Betrag davon und setze möglichst hohe Werte für n ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
Beträge kannst du dir bei dieser Aufgabe auch sparen, da sowieso alles [mm] \ge0 [/mm] ist.
kennst du nicht "konvergenzkriterium für geometrische Reihen"?
Eine geometrische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a^{i} [/mm] konvergiert genau dann, wenn |a|<1
das a wäre bei deiner Aufgabe [mm] \bruch{2^{2}*3^{3}}{5^{3}}...
[/mm]
der Grenzwert kannst du mit der Formel [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a^{i}=\bruch{1}{1-a} [/mm] berechnen. die Formel stimmt natürlich nur für |a|<1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Nachtrag:
Ich habe nach weiterem Ausrechnen dann [mm] 0.864^n
[/mm]
Stimmt das wenigstens?
Und dann?
Dann setze ich ein,weil [mm] n=\infty [/mm] sein soll?
also ist diese Reihe absolut konvergent.(?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Aha,ich verstehe,vielen Dank.
Ich werde mich dann mal an der anderen Aufgabe versuchen.
Da muss ich dann doch auch versuchen umzuformen,oder nicht?
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Hallo,
> Sind diese Reihen absolut konvergent?
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n/(10n^3-100)[/mm]
Bei dieser Reihe sind für n < 3 die Reihenglieder negativ; dir sollte aber klar sein, dass die ersten 3 Reihenglieder relativ wenig über das Konvergenzverhalten aussagen, du kannst sie "ignorieren".
Ein Tipp: Die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} [/mm] ist absolut konvergent - vielleicht lässt sich was abschätzen  ?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Das heißt also,diese Reihe ist auch absolut konvergent?
Wg der hohen Zahl im Nenner wird das Endergebnis kleiner als eins sein,nicht wahr?
Und daraus folgt die absolute Konvergenz...?
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Hallo Pogohasi,
> Das heißt also,diese Reihe ist auch absolut konvergent?
> Wg der hohen Zahl im Nenner wird das Endergebnis kleiner
> als eins sein,nicht wahr?
> Und daraus folgt die absolute Konvergenz...?
Womöglich ist der Grenzwert, also das Ergebnis der Summe < 1. Das interessiert aber niemanden, denn es ist gefragt, ob die Reihe absolut konvergiert. Und das hast du leider noch nicht begründet, mit "großen Zahlen im Nenner" ist es nicht getan.
Verlangt wird vielmehr eine Abschätzung! Du darfst aber die Abschätzung mit [mm] \frac{1}{k^{2}} [/mm] natürlich nur benutzen, wenn ihr das selbst schon so oder in ähnlicher Form hattet (schau in deinen Heftern nach!).
Also: Bilde eine Ungleichungskette der Form:
[mm] $\frac{k}{10*k^{3}-100} \le [/mm] .. [mm] \le \frac{1}{k^{2}}$,
[/mm]
dann kannst du das Majorantenkriterium anwenden.
Grüße,
Stefan
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geometrischen Reihe