Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe Schwierigkeiten mit dem Prinzip der absoluten Konvergenz.
Also "normale" Konvergenz verstehe ich, denke ich.
Eine Reihe konvergiert gegen einen bestimmten Wert, d.h. also, dass die Summanden "ganz weit hinten" immer kleiner werden und sich somit am Ergebnis irgendwann nix mehr ändert.
Die Folge, die der Reihe zu Grunde liegt, ist also eine Nullfolge.
Kann man das so sagen?
So, und jetzt bei der absoluten Konvergenz.
Eine Reihe konvergiert ja absolut, wenn die Reihe über die Absolutbeträge konvergiert.
Aber irgendwie kann ich mir dadrunter nix vorstellen...
Wie "sieht" eine Reihe aus, die absolut konvergiert?
In einem Buch hab ich mal gelesen, die absolute Konvergenz gibt es irgendwie wegen komplexen Reihengliedern, aber so wirklich habe ich das auch nicht verstanden.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
LG Nadine
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Hiho,
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> Also "normale" Konvergenz verstehe ich, denke ich.
>
> Eine Reihe konvergiert gegen einen bestimmten Wert, d.h.
> also, dass die Summanden "ganz weit hinten" immer kleiner
> werden und sich somit am Ergebnis irgendwann nix mehr
> ändert.
> Die Folge, die der Reihe zu Grunde liegt, ist also eine
> Nullfolge.
Jein.
Das ist nur ein notwendiges Kriterium, wie uns ja die Reihe
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$, [/mm] die sogenannte "harmonische Reihe" lehrt. Diese divergiert und konvergiert somit nicht.
Auch hier werden die Summanden beliebig klein, sind jedoch in der Summe so "groß", dass die Reihe trotzdem gegen unendlich "abhaut".
Nehmen wir aber nunmal an, eine beliebige Reine [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert diese Reihe sogar absolut, wenn auch die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}|a_k|$ [/mm] konvergiert.
Ein paar Beispiele:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k$ [/mm] konvergiert absolut, da ja sogar [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\left|\left(-\bruch{1}{2}\right)^k\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^k$ [/mm] konvergiert (geometrische Reihe).
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{1}{k}$ [/mm] konvergiert nach ![[]](/images/popup.gif) Leibnitz-Kriterium, aber NICHT absolut, da
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}|(-1)^k\bruch{1}{k}| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$ [/mm] divergiert (siehe oben).
Ich hoffe das hilft dir schonmal weiter 
Wenn du das verstanden hast, können wir weitermachen damit, was dir diese Erkenntnis bringt 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 08.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Jein.
> Das ist nur ein notwendiges Kriterium, wie uns ja die
> Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm], die sogenannte
> "harmonische Reihe" lehrt. Diese divergiert und konvergiert
> somit nicht.
> Auch hier werden die Summanden beliebig klein, sind jedoch
> in der Summe so "groß", dass die Reihe trotzdem gegen
> unendlich "abhaut".
Ich habe mir mal bei Wikipedia - Harmonische Reihe angesehen, warum das so ist.
Prinzipiell verstehe ich die Idee, ich schätze eine gewisse Summanden nach unten (?) ab, und fasse sie dann so zusammen, dass sie als Ergebnis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] haben. So bekomme ich, je größer n wird, immer mehr Summanden mit Wert [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] das Ergebnis strebt gegen Unendlich.
Da die Harmonische Reihe nun größere Summanden hatte als die Abschätung, ist die Summe nochmal größer, geht also auch gegen Unendlich.
Was ich daran nicht so ganz verstehe:
Die Harmonische Reihe lautet ja [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] , aber im Beweis dafür, dass die Reihe nicht konvergiert, werden nur die ersten n Summanden betrachtet. Muss nicht irgendwo eine Limes-Anwendung rein?
> Nehmen wir aber nunmal an, eine beliebige Reine
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] konvergiert, dann konvergiert
> diese Reihe sogar absolut, wenn auch die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}|a_k|[/mm] konvergiert.
Ja, ok, das ist ja die Definition von absoluter Konvergenz.
> Ein paar Beispiele:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k[/mm]
> konvergiert absolut, da ja sogar
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left|\left(-\bruch{1}{2}\right)^k\right| = \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^k[/mm]
> konvergiert (geometrische Reihe).
Aber die Reihe konvergiert ja nur für $|x|<1$, oder?
Konvergiert sie dann auch nur für $|x|<1$ absolut?
Ich hab noch nur eine Frage zur Notation:
In meinem Buch geht der Laufindex der geometrischen Reihe immer bei 0 los, wenn im Exponenten des Summanden ein k steht.
Und wenn der Laufindex bei 1 gestartet ist, dann stand im Exponenten des Summanden k-1 statt k.
Nun startet deine geometrische Reihe bei 1, aber im Exponenten des Summanden steht nur ein k.
Irgendwie bin ich grad was verwirrt, ich dachte das wäre irgendwie Definition, wie die Exponenten auszusehen haben, je nach dem wo der Laufindex startet ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{1}{k}[/mm] konvergiert nach
> Leibnitz-Kriterium,
> aber NICHT absolut, da
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}|(-1)^k\bruch{1}{k}| = \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]
> divergiert (siehe oben).
Ich denke, das Beispiel verstehe ich.
Also beim Leibnitz-Kriterium muss ich ja nur das betrachten, was hinter dem [mm] (-1)^k [/mm] steht, oder?
Das ist ja dann [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und das ist eine monoton fallende reelle Nullfolge, also konvergiert die ganze Reihe, richtig?
Und wenn ich nun die Beträge bilde, dann erhalte ich als Ergebnis die harmonische Reihe, und von der weiß ich ja, dass sie divergiert.
> Ich hoffe das hilft dir schonmal weiter
> Wenn du das verstanden hast, können wir weitermachen
> damit, was dir diese Erkenntnis bringt
Ok
LG Nadine
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Hiho,
> Prinzipiell verstehe ich die Idee, ich schätze eine
> gewisse Summanden nach unten (?) ab, und fasse sie dann so
> zusammen, dass sie als Ergebnis [mm]\bruch{1}{2}[/mm] haben.
Korrekt.
> Was ich daran nicht so ganz verstehe:
>
> Die Harmonische Reihe lautet ja
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] , aber im Beweis dafür,
> dass die Reihe nicht konvergiert, werden nur die ersten n
> Summanden betrachtet. Muss nicht irgendwo eine
> Limes-Anwendung rein?
Die steckt in dem kleinen Satz "Die Summe der letzten Zeile kann offensichtlich jeden Wert übersteigen, wenn n entsprechend groß ist."
Das sagt nix anderes aus (in Formeln) als [mm] $\forall x\in\IR \exists [/mm] n: [mm] H_n [/mm] > x$ und das ist ja nichts anderes als die Definition von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}H_n [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
> Aber die Reihe konvergiert ja nur für [mm]|x|<1[/mm], oder?
> Konvergiert sie dann auch nur für [mm]|x|<1[/mm] absolut?
Naja, da sie für $|x| [mm] \ge [/mm] 1$ nicht mal konvergiert, sondern divergiert, kann sie erst recht nicht absolut konvergieren.
Hier gilt ja $|x| = [mm] \left|-\bruch{1}{2}\right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1$
> Ich hab noch nur eine Frage zur Notation:
> In meinem Buch geht der Laufindex der geometrischen Reihe
> immer bei 0 los, wenn im Exponenten des Summanden ein k
> steht.
> Und wenn der Laufindex bei 1 gestartet ist, dann stand im
> Exponenten des Summanden k-1 statt k.
> Nun startet deine geometrische Reihe bei 1, aber im
> Exponenten des Summanden steht nur ein k.
> Irgendwie bin ich grad was verwirrt, ich dachte das wäre
> irgendwie Definition, wie die Exponenten auszusehen haben,
> je nach dem wo der Laufindex startet
Also: Deine Formeln für geometrische Reihen stimmen nur für für Form
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k$
[/mm]
Da hast du recht (und das mit dem k=1 und (k-1) im Exponenten ergibt sich durch Indexverschiebung).
Aber ich hab ja auch nur eine Aussage über die Konvergenz getroffen und da gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}q^k [/mm] < [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k$, [/mm] ist die Begründung zur Konvergenz einfach die geometrische Reihe
> Also beim Leibnitz-Kriterium muss ich ja nur das
> betrachten, was hinter dem [mm](-1)^k[/mm] steht, oder?
>
> Das ist ja dann [mm]\bruch{1}{k}[/mm] und das ist eine monoton
> fallende reelle Nullfolge, also konvergiert die ganze
> Reihe, richtig?
Korrekt
> Und wenn ich nun die Beträge bilde, dann erhalte ich als
> Ergebnis die harmonische Reihe, und von der weiß ich ja,
> dass sie divergiert.
Genau!
Soweit alles klar?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Aber ich hab ja auch nur eine Aussage über die Konvergenz
> getroffen und da gilt:
>
> [mm]$\summe_{k=1}^{\infty}q^k[/mm] < [mm]$\summe_{k=0}^{\infty}q^k$,[/mm] ist
> die Begründung zur Konvergenz einfach die geometrische
> Reihe
Das ist jetzt aber nicht das Majoranten-Kriterium, oder?
Du hast einfach nur gesagt:
Ich habe eine Reihe, die hat einen positiven [ [mm] (\bruch{1}{2})^0=1 [/mm] ] Summanden weniger als die geometrische Reihe mit gleichen Summanden, hat also insgesamt einen kleineren Wert als die geometrische Reihe, und da die geometrische Reihe konvergiert muss dann die Reihe mit kleinerem Wert auch konvergieren?
Und das [mm]$\summe_{k=1}^{\infty}q^k <\summe_{k=0}^{\infty}q^k$,[/mm] gilt immer, weil alles hoch 0 immer 1 ergibt und damit die Reihe, die bei k=0 startet, immer um 1 größer ist, als die, die bei k=1 startet?
> Soweit alles klar?
Jo
LG Nadine
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hi!
> Hallo!
>
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>
> > Aber ich hab ja auch nur eine Aussage über die Konvergenz
> > getroffen und da gilt:
> >
> > [mm]$\summe_{k=1}^{\infty}q^k[/mm] < [mm]$\summe_{k=0}^{\infty}q^k$,[/mm] ist
> > die Begründung zur Konvergenz einfach die geometrische
> > Reihe
>
> Das ist jetzt aber nicht das Majoranten-Kriterium, oder?
>
> Du hast einfach nur gesagt:
>
> Ich habe eine Reihe, die hat einen positiven [
> [mm](\bruch{1}{2})^0=1[/mm] ] Summanden weniger als die geometrische
> Reihe mit gleichen Summanden, hat also insgesamt einen
> kleineren Wert als die geometrische Reihe, und da die
> geometrische Reihe konvergiert muss dann die Reihe mit
> kleinerem Wert auch konvergieren?
jo.
> Und das [mm]$\summe_{k=1}^{\infty}q^k <\summe_{k=0}^{\infty}q^k$,[/mm]
> gilt immer, weil alles hoch 0 immer 1 ergibt und damit die
> Reihe, die bei k=0 startet, immer um 1 größer ist, als
> die, die bei k=1 startet?
>
korrekt.
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> > Soweit alles klar?
>
> Jo
>
>
>
> LG Nadine
lg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:21 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Gono!
Aus meiner Frage wurde leider eine Mitteilung gemacht.
> > Wenn du das verstanden hast, können wir weitermachen
> > damit, was dir diese Erkenntnis bringt
Es wäre super, wenn wir jetzt weitermachen könnten :)
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht formulierst du nochmal, welche Frage oder Fragen noch offen sind, ich seh das grade nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
In seiner ersten Antwort hat Gono folgendes geschrieben:
> Nehmen wir aber nunmal an, eine beliebige Reine $
> [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] $ konvergiert, dann konvergiert diese
> Reihe sogar absolut, wenn auch die Reihe $
> [mm] \summe_{k=1}^{\infty}|a_k| [/mm] $ konvergiert.
> Ein paar Beispiele:
> $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k [/mm] $
> konvergiert absolut, da ja sogar $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left|
> \left(-\bruch{1}{2}\right)^k\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}
[/mm]
> [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^k [/mm] $ konvergiert (geometrische Reihe).
> $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\bruch{1}{k} [/mm] $ konvergiert nach
> []Leibnitz-Kriterium, aber NICHT absolut, da
> $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}|(-1)^k\bruch{1}{k}| [/mm] =
> [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] $ divergiert (siehe oben).
> Ich hoffe das hilft dir schonmal weiter
> Wenn du das verstanden hast, können wir weitermachen damit, was dir diese Erkenntnis bringt
Das rot markierte ist quasi meine Frage :)
Ich habe es als Frage gestellt, damit Gono sieht, dass ich das vorher alles verstanden habe, und ich nun gerne wissen würde, was mir diese Erkenntnis bringt.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 10.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was dir die erkenntnis bringt:
1. Wenn die Summanden ne Nullfolge bilden ist das für die Konvergenz notwendig, aber es reicht nicht. wenn sie ne Nullfolge bilden und alternieren, dann konvergiert die Reihe. bei manchen Folgen ist es interessant zu wissen, ob sie absolut konvergieren, das ist z. bsp für die geometrische Reihe mit |q/<1 der Fall. ier ist es also egal ob du für die Summenformel negative odr positive Werte einsetzt.
bei Reihen mit komplexen summanden betrachtet man nur die absolute Konvergenz, die ist für Konvergenz notwendig. zusätzlich müssen noch Realteil und Imaginärteil einzeln konvergieren.
Wasfür fragen bleiben dir dann noch?
Gruss leduart
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Hiho,
so, worauf ich eigentlich hinauswollte, ist, dass absolut konvergente Reihen einige Eigenschaften haben, die nicht absolut konvergente Reihen nicht aufweisen.
Die wichtigste hier ist sicherlich, dass man die Summanden umsortieren kann und jede Umsortierung gegen den selben Grenzwert konvergiert!
Umgekehrt kann man eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe so umordnen, dass sie gegen einen beliebigen Grenzwert [mm] $g\in\IR\cup\{\pm\infty\}$ [/mm] konvergiert (Riemannscher Umordnungssatz). Das geht mit absolut konvergenten Reihen, wie oben bereits gesagt, nicht.
MFG,
Gono.
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