Abstand Gerade /Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
Hall,
ich soll alle Punkte einer Geraden bestimmen, die zu der Ebenen den Anstand d=3 haben.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich am besten anfange?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Wie schön, dass es wenigstens noch Geraden gibt, die Anstand haben. 
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
...und kannst du mir trotzdem einen Tipp geben, wie ich die Punkte mit dem ABSTAND d=3 finde?
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> Hall,
>
> ich soll alle Punkte einer Geraden bestimmen, die zu der
> Ebenen den Anstand d=3 haben.
Abstand
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich am besten anfange?
Hast du eine Parametergleichung der Geraden und
eine Koordinatengleichung der Ebene ?
Bringe die Ebenengleichung auf die Hessesche
Normalenform. Damit ist die Aufgabe dann sehr
leicht zu lösen.
LG
Russ, Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
E: [mm] x_1-3x_2+3x_3=16
[/mm]
g: [mm] \vec{x}=\vektor{7 \\ -1 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
wie komme ich weiter?
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Hallo,
> E: [mm]x_1-3x_2+3x_3=16[/mm]
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{7 \\ -1 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> wie komme ich weiter?
Bastele Dir doch die Hessesche Normalenform für die Berechnung des (senkrechten) Abstandes von Punkten zur Ebenen. Dann setze die Geradengleichung ein.
[mm]d=\bruch{|x_1-3x_2+3x_3-16|}{\wurzel{19}}[/mm]
etc.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
[mm] \vec{n_o}*\vec{x}-d=0
[/mm]
Ist das die richtige Formel und da soll ich nun die Geradengleichung einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Das hast Du richtig erkannt. Allerdings musst Du hier für $d_$ nicht den ursprünglichen Wert der Ebene verwenden, sondern [mm] $d_{1/2} [/mm] \ = \ d [mm] \pm [/mm] 3$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
[mm] \vec{n_0}=\vektor{1 \\ -3 \\ 3} [/mm] ist das richtig?
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Hallo Jule,
ja, das ist ein Normalenvektor Deiner Ebene. Man kann ihn aus der Koordinatenform direkt ablesen, und das hast Du richtig getan.
Für die Hessesche Normalform, mit der Du direkt den Abstand eines Punktes von der Ebene bestimmen kannst, brauchst Du allerdings einen normierten Normalenvektor - also einen der Länge 1. Im allgemeinen wird nur ein solcher mit dem Index 0 versehen.
Dein Normalenvektor ist also [mm] \vec{n}=\vektor{1\\-3\\3}
[/mm]
Dann ist [mm] \vec{n}_0=\bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule,
>
> ja, das ist ein Normalenvektor Deiner Ebene. Man kann ihn
> aus der Koordinatenform direkt ablesen, und das hast Du
> richtig getan.
>
> Für die Hessesche Normalform, mit der Du direkt den Abstand
> eines Punktes von der Ebene bestimmen kannst, brauchst Du
> allerdings einen normierten Normalenvektor - also einen der
> Länge 1. Im allgemeinen wird nur ein solcher mit dem Index
> 0 versehen.
>
> Dein Normalenvektor ist also [mm]\vec{n}=\vektor{1\\-3\\3}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\vec{n}_0=\bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
> [mm] \vec{n_0}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*\vektor{1\\-3\\3}
[/mm]
für [mm] \vec{x} [/mm] setzte ich meine Geradengleichung ein?
Da kann ich doch aber nur noch nach r auflösen. Wie komme ich dann auf die Koordinaten der Punkte.
Ich steh echt auf dem Schlauch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bestimmtes r gibt doch in die geradengl. eingesetzt einen Punkt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
stimmt!!
Danke für eure Hilfe 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 03.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
> > Hallo Jule,
> >
> > ja, das ist ein Normalenvektor Deiner Ebene. Man kann ihn
> > aus der Koordinatenform direkt ablesen, und das hast Du
> > richtig getan.
> >
> > Für die Hessesche Normalform, mit der Du direkt den Abstand
> > eines Punktes von der Ebene bestimmen kannst, brauchst Du
> > allerdings einen normierten Normalenvektor - also einen der
> > Länge 1. Im allgemeinen wird nur ein solcher mit dem Index
> > 0 versehen.
> >
> > Dein Normalenvektor ist also [mm]\vec{n}=\vektor{1\\-3\\3}[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]\vec{n}_0=\bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}[/mm]
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> > [mm]\vec{n_0}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*\vektor{1\\-3\\3}[/mm]
>
> für [mm]\vec{x}[/mm] setzte ich meine Geradengleichung ein?
>
> Da kann ich doch aber nur noch nach r auflösen. Wie komme
> ich dann auf die Koordinaten der Punkte.
> Ich steh echt auf dem Schlauch!
>
Ich komme einfach nicht weiter.
Ist meine Hesse'sche Normalform überhaupt richtig?
wenn ich einsetzte:
[mm] 0=\bruch{1}{\wurzel{19}}*\vektor{1\\-3\\3}*\vektor{7\\ -1 \\ r}
[/mm]
stimmt das doch hinten und vorne nicht.
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Hallo Jule,
es stimmt aber fast.
Die Hessesche Normalform der gegebenen Ebene ist
[mm] \vec{x}*\bruch{1}{\wurzel{19}}\vektor{1\\-3\\3}=\red{\bruch{16}{\wurzel{19}}}
[/mm]
- und nicht etwa ...=0
Damit ist übrigens auch der kürzeste Abstand der Ebene vom Ursprung bekannt; er beträgt [mm] \tfrac{16}{\wurzel{19}}. [/mm] Man braucht ihn hier aber nicht, außer natürlich für diese Form der Ebenengleichung.
Wenn Du nun in diese Ebenengleichung den (noch allgemeinen) Punkt der Geraden einsetzt:
[mm] \vektor{7\\-1\\r}*\bruch{1}{\wurzel{19}}\vektor{1\\-3\\3}=\bruch{16}{\wurzel{19}}
[/mm]
... stellst Du fest, dass r=2 diese Gleichung löst.
7+3+3r=16 [mm] \gdw\ [/mm] r=2
Der Punkt der Geraden, der zu r=2 gehört, liegt also in der Ebene bzw. ist der Schnittpunkt von Ebene und Gerade.
Aber das war ja nicht gesucht, sondern die Punkte der Geraden, die den Abstand 3 von der Ebene haben. Derer gibt es zwei, und sie müssen diese Bedingung erfüllen:
[mm] \vektor{7\\-1\\r}*\bruch{1}{\wurzel{19}}\vektor{1\\-3\\3}=\bruch{16}{\wurzel{19}}\red{\pm3}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 03.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
...soweit habe ich es verstanden Danke.
Aber ich bin mir nicht sicher wie ish weiter vorgehe.
Rechne ich mir nun die Koordinaten es Punktes für r=2 aus und addiere/substrahiere dann von diesen Koordinaten 3 oder muss ich anders vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
Warum beharrst Du so auf dieses $r \ = \ 2$ ? Oben hat Dir reverend doch alles schön erklärt.
Mit den beiden neuen Gleichungen musst Du jeweils das zugehörige $r_$ berechnen und daraus den Punkt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 03.03.2009 | | Autor: | Jule_ |
7+3+3r=13
r=1
7+3+3r=19
r=3
[mm] P_1(7/-1/3); P_2(7/-1/1)
[/mm]
Richtig?
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Hallo Jule,
jetzt hast Du die Normierung der Ebenenform vernachlässigt.
In der Gleichung
[mm] \vektor{7\\-1\\r}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{19}}\vektor{1\\-3\\3}=\bruch{16}{\wurzel{19}}\red{\pm3}
[/mm]
trägt das Glied [mm] \red{\pm3} [/mm] ja als einziges nicht den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{19}} [/mm] !
Die Gleichung ist mit wenig Umformung ja auch so zu fassen:
[mm] 7+3+3r=16\pm 3\wurzel{19}
[/mm]
Also [mm] r=2\pm\wurzel{19}
[/mm]
Dann sind Deine beiden Ortsvektoren doch andere.
Grüße
reverend
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