Abstand Pkt zu Gerade < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sumeragi |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(2/2/-1), B(0/1/1), C(4/1/1)
Bestimme den Abstand des Punktes Q(6/-1/0) von der geraden g |
Hallo liebe Mathematiker
Demnächst beginnen wir in der Schule mit Ebenengleichungen und deshalb haben wir bis dahin einige Übungen zum Wiederholen bekommen.
Die Gerade g habe ich in den vorhergehenden Teilaufgaben aufgestellt:
g: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Dazu habe ich auch eine Zeichnung angefertigt. Mal sehen ob das mit dem Einbinden klappt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Könnt ihr mir da vielleicht mit dem Ansatz bzw mit der Umsetzung helfen?
Das wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Mit dieser Zeichnung bist du meiner Meinung nach bereits sehr nah an der Lösung dran.
Also deine Zeichnung betrachtend, musst du zunächst eine parallele Gerade zu deiner Geraden g erstellen, die als Aufpunkt den Punkt Q, also den gesuchten Punkt, hat.
Anschließend bildest du dir zu der neu erstellten Geraden eine Senkrechte Gerade, welche wieder Q als Aufpunkt hat (du hast sie auch schon eingezeichnet).
Diese lässt du nun mit deiner Geraden g schneiden.
Dann setzt du Q und den Schnittpunkt S in die Abstandsformel ein und hast deinen Abstand :)
Lg
Marco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sumeragi |
alles klar, danke schön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sumeragi |
| Aufgabe | q:[mm]\vec x[/mm][mm] =\begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ist die parallele zur o.g. Gerade g
Wie bilde ich dazu die Senkrechte im Punkt Q(6/-1/0) |
Ganz klar ist mir die antwort doch nicht...
reicht es, wenn ich von dem richtungsvektor (-2/-1/2) das vorzeichen des x- wertes verändere oder muss ich dazu was anderes machen.
Ich habe ja keinen Zweiten Vektor, damit ich die Formel cos(90°)=(a*b)/(|a|*|b|) bilden kann
manno man, lang ists her ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu die Formel hast du doch da.
Du kannst beliebige Werte einsetzen.
Zum Vereinfachen setze ich persönlich meistens eine Komponente 0.
Also ein Bsp. einer zu deiner Geraden senkrecht verlaufenden Geraden wäre:
[mm] \vektor{ 6\\ -1\\ 0} [/mm] + r [mm] *\vektor{ 1\\ 0\\ -1}
[/mm]
Wenn du wie oben von dir vorgeschlagen lediglich das Vorzeichen des x- Wertes ändern würdest, läge noch keine Orthogonalität vor.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sumeragi |
Hm, tut mir leid, ich nerve noch mal, sieht da jemand den Fehler?
Die rot eingekreisten zahlen sollten doch eigentlich gleich sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Ohwei offensichtlich war dein einziger Fehler auf mich gehört zu haben :(
Ich dachte, dass das ganze auch so lösbar sei mir dem Erstellen einer weiteren Geraden aber da habe ich mich wohl getäuscht, weil sie windschief zueinander sind.
Daher kann auch am Ende kein Schnittpunkt herauskommen.
Als "kleine Entschuldigung" hier, wie es richtig geht:
Wir stellen statt der weiteren Geraden mit Q als Aufpunkt eine Ebene auf.
Diese hat als Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden und als Aufpunkt ebend Q, also:
|E: [mm] \vektor{-2 \\ -1\\ 2} \* (\overrightarrow{OX}-\vektor{6 \\ -1\\ 0}) [/mm] = 0
Diesen formst du in die Parametergleichung um, indem du den Aufpunkt beibehälst und 2 zum Normalenvektor orthogonale Richtungsvektoren bildest, eine mögliche Parameterform wäre:
|E= [mm] \overrightarrow{OX}(r,s)=\vektor{6 \\ -1\\ 0} +r*\vektor{1 \\ 0\\ -1}+s*\vektor{1 \\ -2\\ 0}
[/mm]
Nun einfach g = |E
Man erhält den Schnittpunkt S: [mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{16 \\ 9\\ -15}
[/mm]
Das ist der Schnittpunkt, welcher auch beim Schneiden der beiden Geraden hätte auftreten sollen :( Dies würde theoretisch gehen, wenn beide Geraden in einer Ebene liegen, nur so am Rande. :o
Nun noch diese beiden Punkte in die Abstandsformel eingesetzt:
d(Q,S) = 5 [mm] *\wurzel{17} \approx [/mm] 20,6155
Dies war nun im Prinzip das Selbe wie vorher nur mit dem Unterschied, dass eine Ebene die Gerade immer treffen muss.
Nochmal sry für diesen zunächst ein wenig verkorksten Lösungsansatz :(
Hoffe im Übrigen, dass hier alles korrekt ist, weil ich auch alles relativ schnell gerechnet hab.
Der Weg ist aber 100%ig richtig :D
Ciao, Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sumeragi |
Die Entschuldigung ist nicht nötig
Ich kann nur auf Hilfe hoffen und du hast mir geholfen
Immer hin weiß ich jetzt, dass man das so nur dann machen kann, wenn die beiden geraden in einer ebene liegen.
Danke schön
Im Übrigen hätte ich die Aufgabe auf diese Weise gar nicht lösen können, da wir Ebenengleichungen noch gar nicht als Stoffgebiet hatten.
Ich weiß nicht, vielleicht gibt es auch einen anderen Weg. Aber ne andee Idee habe ich nicht.
So gesehen kann ich deine Lösung eigentlich nur Abschreiben, allerdings nicht erklären, auch wenn ich davon ausgehe, dass du wohl irgendwie eine neue Ebene in dem Punkt angelegt hast oder so.
Ich wünsche noch einen schönen Abend
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