Abstand Punkt von Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 So 31.08.2008 | | Autor: | RtotheT |
| Aufgabe | Aufgabe:
Gegeben sind die Ebene [mm] E.x_1+2x_2-x_3=6 [/mm] und die Mene aller Punkte P [mm] (p_1 [/mm] | [mm] p_2 [/mm] | [mm] p_3) [/mm] mit [mm] p_1=2r+3s; p_2=r-2s; p_3=4r-s [/mm] für alle r,s enthalten in R.
Zeigen Sie, dass alle Punkte P von Ebene E den gleichen Abstand haben
a) mithilfe der HESSE'schen Normalenform,
b) durch geometrische Überlegungen ohne Verwendung der HESSE'schen Normalenform. |
Hallo,
ich wollte mal fragen, ob jemand die Zeit hat sich meine Hausaufgaben anzuschauen, wäre sehr lieb:
zu a)
[mm]d= \left| \bruch{2r+3s+2(r-2s)-4r+s-6}{\wurzel{6}} \right|[/mm]
wird zu:
[mm]d= \left| \bruch{-6}{\wurzel{6}} \right|[/mm]
Ist die Lösung korrekt?
Jedenfalls wäre meine Begründung, dass das Ergebnis unabhängig von r und s ist und deswegen alle Punkte denselben Abstand haben.
zu b)
aus den Punkten von P eine Ebene mit folg. Gleichung:
[mm] \vec x= r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Normalenvektor der Ebene ist:
[mm] \vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Im Lösungsbuch werden nun die Skalarprodukte gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} =0[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}=0[/mm]
Nach dem Lösungsbuch beweise dies nun die Parallelität der Ebene E und der Ebene durch die Punkte von P.
Aber ich dachte, dass das Skalarprodukt immer die Orthogonalität zeigt, wenn es null ergibt... Was verstehe ich hier falsch?
Außerdem wollte ich mal fragen, ob es noch andere Lösungsmöglichkeiten gäbe, da bei der Aufgabe gefragt wird, welche geometrischen Überlegungen es gäbe und ich mir einfach denke, dass es mit Sicherheit noch andere geben muss (außerdem bin ich bestimmt nicht die Einzige, die das Lösungsbuch besitzt).
Ich freue mich auf Antwort, danke!
RtotheT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 So 31.08.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a) sieht mir korrekt aus, nur dass ich [mm] d=\wurzel{6}LE [/mm] einfach schreiben würde.
b)
Sagt dir das Kreuzprodukt/Vektorprodukt etwas? Du könntest damit den Normalenvektor der Ebene bestimmen, die durch die Punkteschar gegeben ist. Wenn dieser Normalenvektor ein Vielfaches des Normalenvektor der Ausgangsebene ist (also wenn beide Normalenvektoren kollinear sind), dann müsst die Ebenen parallel sein. Die Lösung in der Aufgabe verwendet den selben Ansatz, nur dass sie nicht das Kreuzprodukt berechnen, sondern 2mal ein Skalarprodukt. Kommt aber aufs selbe raus.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 31.08.2008 | | Autor: | RtotheT |
Hey, danke schon mal...
Aber mir ist noch etwas unklar.
Wieso kann ich bei a) einfach [mm] \wurzel{6}LE [/mm] schreiben? Was bedeutet das LE?
zu b)
Ja, mir sagt das Kreuzprodukt etwas, aber ich wusste nicht, dass das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bei einer Parametergleichung den Normalenvektor ergibt.
Daraus ergibt sich auch, dass es ein Vielfaches ist (7/14/-7).
Aber noch einmal zur vorgegebenen Lösung:
Wieso zeigt mir hier das Ergebnis 0 des Skalarproduktes Parallelität? Ich dachte, dass das Orthogonalität zeigt...
Lieben Gruß
RtotheT
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 So 31.08.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
a)
Na [mm] \bruch{6}{\wurzel{6}}=\bruch{\wurzel{6}*\wurzel{6}}{\wurzel{6}}=\wurzel{6}! [/mm] LE heißt Längeneinheiten und sollte immer da stehen, wenn es um Abstände geht! Außer du hast natürlich in Anwendungsaufgaben andere Einheiten gegeben.
b)
Ok, du hast ja die 2 Spannvektoren der Ebene, die durch die Punkteschar gebildet wird. Wenn du dir jetzt vorstellst, dass diese Ebene und die gegebene Ebene parallel sind, dann müssen entweder die Normalvektoren Vielfache voneinander sein, oder aber beide Spannvektoren der "Punktebene" müssten mit dem Normalenvektor der gegebenen Ebene einen 90-Winkel einschließen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Skizzen helfen da immer :) Die rote Ebene ist eben die gegebene, die blaue die, die durch die Punktschar gegeben ist.
Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 31.08.2008 | | Autor: | RtotheT |
Wow, danke! Das ist wirklich sehr gut erklärt.
Das nächste Mal versuche ich zunächst selbst erst einmal eine Skizze... das wäre klug gewesen.
Schönen Restsonntag noch!
RtotheT
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