Abstand übers Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 09.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Seien V = [mm] \IR^n [/mm] und
< , > : V x V -> [mm] \IR [/mm] , (x,y) -> <x,y>,
ein positiv definites Skalarprodukt. Dann heißt
d(x,y) := [mm] \wurzel{}
[/mm]
Abstand von x und y(bezüglich dieses Skalarprodukts). Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Abstands.
(i) d(x,y) = 0 <=> x=y.
(ii) d(x,y) = d(y,x) für beliebiges x,y [mm] \in [/mm] V
(iii) d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z) für beliebiges x,y,z [mm] \in [/mm] V |
Ich hab schon zu allem ne Idee und auch schon angefangen das auszurechnen mir fehlt nur eine kleinigkeit.
wir haben nur die definition <x,y> := [mm] x^{T} [/mm] *y fürs skalarprodukt.
ich krieg das aber in der rechnung nich in was umgeformt mit dem ich was anfangen kann. bsp.:
(i) 0 = d(x,y) := [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{ (x-y)^{T} (x-y) } [/mm] = ... = x-y = 0 ==> x=y
was mache ich mit dem transponierten um damit rechnen zu können?
danke im vorraus, die maxi
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> Seien V = [mm]\IR^n[/mm] und
> < , > : V x V -> [mm]\IR[/mm] , (x,y) -> <x,y>,
> ein positiv definites Skalarprodukt. Dann heißt
> d(x,y) := [mm]\wurzel{}[/mm]
> Abstand von x und y(bezüglich dieses Skalarprodukts).
> Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Abstands.
> (i) d(x,y) = 0 <=> x=y.
> (ii) d(x,y) = d(y,x) für beliebiges x,y [mm]\in[/mm] V
> (iii) d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,z) für beliebiges x,y,z [mm]\in[/mm]
> V
> Ich hab schon zu allem ne Idee und auch schon angefangen
> das auszurechnen mir fehlt nur eine kleinigkeit.
>
> wir haben nur die definition <x,y> := [mm]x^{T}[/mm] *y fürs
> skalarprodukt.
Hallo,
ich denke, Du bist hier etwas auf der falschen Fährte.
Das Skalarprodukt, von dem Du redest, ist das Standardskalarprodukt im [mm] \IR^n.
[/mm]
Du sollst aber zeigen, daß die Eigenschaften für beliebige Skalarprodukte auf dem [mm] \IR^n [/mm] gelten.
Du müßtest also zunächst mal nachschauen, was ein pos. definites Skalarprodukt für Eigenschaften hat.
> ich krieg das aber in der rechnung nich in was umgeformt
> mit dem ich was anfangen kann. bsp.:
>
> (i) 0 = d(x,y) := [mm]\wurzel{}[/mm]
==> [mm] 0=(d(x,y))^2= [/mm] ==> ??? (Du mußt hier eine Eigenschaft des pos. def. Skalarproduktes verwenden.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
Ah ok, dann versuch ichs nochmal:
positiv definit heißt:
I. <x,x> [mm] \ge [/mm] 0
II. <x,x> = 0 <=> x=0
bilinear heißt:
III. [mm] \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
[/mm]
[mm] \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
[/mm]
(i) d(x,y) = 0 <=> x=y.
"=>" [mm] 0=d^2(x,y)= [/mm] ==> wg. II. x-y=0 ==> x=y
"<=" [mm] d^2(x,y)=d^2(x,x)==<0,0> [/mm] ==> wg. II d(x,y)=0
(ii) d(x,y)=d(y,x) für x,y [mm] \in [/mm] V beliebig
[mm] d^2(x,y)= [/mm] / wg. III
= <x,x-y> - <y,x-y>
= <x,x> - <x,y> - <y,x> + <y,y>
= <y,y> - <y,x> - <x,y> + <x,x>
= <y,y-x> - <x,y-x>
= <y-x,y-x>
= [mm] d^2(y,x)
[/mm]
(iii) d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)
[mm] d^2(x,z) [/mm] = <x-z,x-z> = <x,x> -2<x,z> + <z,z>
das soll [mm] \le [/mm]
<x,x> -2<x,y> + <y,y> + <y,y> -2<y,z> + <z,z> =
<x-y,x-y> + <y-z,y-z> = [mm] d^2(x,y) [/mm] + [mm] d^2(y,z) [/mm]
sein.
==> n.z.Z.
-2<x,z> [mm] \le [/mm] -2<x,y> + <y,y> + <y,y> -2<y,z>
an der stelle komm ich nicht weiter, bzw. stehe immernoch vor dem ausgangsproblem...
hat da evt. wer ne Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Di 10.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mich wundert es zunächst, dass ihr von einem positiv definiten Skalarprodukt sprecht, denn eigentlich ist das doppelt gemoppelt, siehe ![[]](/images/popup.gif) Wiki.
Nun nur zu (iii) (über den Rest kann ja jemand anderes drübergucken):
> (iii) d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,z)
>
> [mm]d^2(x,z)[/mm] = <x-z,x-z> = <x,x> -2<x,z> + <z,z>
> das soll [mm]\le[/mm]
> <x,x> -2<x,y> + <y,y> + <y,y> -2<y,z> + <z,z> =
> <x-y,x-y> + <y-z,y-z> = [mm]d^2(x,y)[/mm] + [mm]d^2(y,z)[/mm]
> sein.
>
> ==> n.z.Z.
> -2<x,z> [mm]\le[/mm] -2<x,y> + <y,y> + <y,y> -2<y,z>
>
> an der stelle komm ich nicht weiter, bzw. stehe immernoch
> vor dem ausgangsproblem...
>
> hat da evt. wer ne Idee?
Wie kommst Du denn darauf, dass $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z) [mm] \gdw d^2(x,z) \le d^2(x,y)+d^2(y,z)$ [/mm] gelten würde? Für $0 [mm] \le [/mm] a,b$ gilt $a [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw a^2 \le b^2$, [/mm] und daher für $0 [mm] \le [/mm] a,b,c$:
$a [mm] \le [/mm] b+c [mm] \gdw a^2 \le (b+c)^2=b^2\blue{+2bc}+c^2$ [/mm]
Das bedeutet oben:
Anstatt $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$ kann man in äquivalenter Weise die Ungleichung:
[mm] $d^2(x,z) \le d^2(x,y)\blue{+2*d(x,y)*d(y,z)}+d^2(y,z)$ [/mm] beweisen. Setzt Du nun die Definition von $d$ ein, so ist zu beweisen:
[mm] $(\star)$ $\black{ \;\;\blue{\le}\;\; +2*\sqrt{}*\sqrt{}+}$
[/mm]
Um [mm] $(\star)$ [/mm] einzusehen, sollte man zunächst (unter Beachtung, dass [mm] $\black{<\,.\,,\,.\,>}$ [/mm] ein Skalarprodukt ist)
[mm] $\black{\;=\;<(x-y)+(y-z),(x-y)+(y-z)>\;=\;+2+}$ [/mm]
schreiben, denn damit ist [mm] $(\star)$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $(\star_2)$ $\black{ \;\;\blue{\le} \;\;\sqrt{}*\sqrt{}}$
[/mm]
Wegen $<x-y,y-z> [mm] \;\;\le \;\;||$ [/mm] folgt [mm] $(\star_2)$ [/mm] aber unmittelbar aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
Gruß,
Marcel
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