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| Aufgabe | | Stellen Sie die Gleichung einer Gerade g3 auf, die parallel zu g1 durch Q verläuft und berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden voneinander. |
Hallo.
Die Gerade g1 und der Punkt Q sind gegeben. Ich habe die Geradengleichung aufgestellt und versucht den Abstand der beiden Geraden zu berechnen. Habe ich das richtig gemacht?
Ich war mir bei dem Richtungsvektor n nicht sicher und habe mir gedacht, ich kann ihn einfach von g1 nehmen, da er sowieso ein Vielfaches von g3 ist.
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Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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salute andreas...
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> Stellen Sie die Gleichung einer Gerade g3 auf, die parallel
> zu g1 durch Q verläuft und berechnen Sie den Abstand der
> beiden Geraden voneinander.
> Hallo.
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> Die Gerade g1 und der Punkt Q sind gegeben. Ich habe die
> Geradengleichung aufgestellt und versucht den Abstand der
> beiden Geraden zu berechnen. Habe ich das richtig gemacht?
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> Ich war mir bei dem Richtungsvektor n nicht sicher und habe
> mir gedacht, ich kann ihn einfach von g1 nehmen, da er
> sowieso ein Vielfaches von g3 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
du hättest auch gleich den richtungsvektor von [mm] g_{1} [/mm] übernehmen können ohne ihn zu verdoppeln, denn da [mm] $r,s\in\IR$ [/mm] sind, lassen sich beide immer durch ein vielfaches des anderen darstellen...
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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bei der abstandsberechnung mußt du aufpassen...du wolltest den abstand der beiden stützpunkte berechnen, weißt aber nicht ob diese beiden punkte auch wirklich den geringsten abstand zueinander haben. am besten du stellst eine hilfsebene durch Q auf. als normalvektor wählst du den richtungsvektoren von [mm] g_{3}. [/mm] dann schaust du in welchem punkt die ebene [mm] g_{1} [/mm] schneidet und berechnest dann den abstand des schnittpunktes und Q... habs mal in eile gemacht und 2,87LE rausbekommen...mal ohne gewähr, ging recht schnell...
probiers mal...
-molek-![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ich versteh das nicht so ganz. Ich hab jetzt zirka 3 Heftseiten vollgeschrieben ohne auf ein Ergebnis zu kommen :) Deswegen fang ich mal ganz langsam an, von vorne:
Ich soll also eine Ebenengleichung aufstellen, die durch den Punkt Q geht und den Richtungsvektor von g3 besitzt. Aber eine Ebenengleichung hat doch zwei Richtungsvektoren (z.b. 3s + 5t). Was ist mit dem ersten, also s - darf ich mir den ausdenken? Ich habe die Gleichung mal aufgestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, du müsstest dann eine Ebene in der Koordinatenform oder in der Normalenform aufstellen. Hattet ihr die schon in der Schule? Dann kannst du nämlich den Stützvektor von g1 also Stützvektor der Ebene nehmen und den Richtungsvektor von g3 als Normalenvektor.
Gruß Patrick
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Dein Ergebnis ist übrigens falsch, da du als [mm] n_{0} [/mm] nicht einfach einen beliebigen Richtungsvektor der Geraden nehmen darfst, sondern einen Vektor finden musst, der zu beiden RV senkrecht steht. Aber wie schon gesagt, kann es dann (sehr wahrscheinlich sogar) passieren, dass du nicht den kürzesten Abstand errechnest.
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Hi, danke erstmal für die Antwort!
ich poste erstmal meine neu aufgestellte Ebene. Ich habe mit ihr und g1 gerade ein Gleichungssystem aufgestellt, um den Schnittpunkt bzw. den Durchstoßpunkt zu berechnen. Allerdings hat das meiner Meinung nach unendlich viele Lösungen, ich bekomme ständig z.B. 5-2t=-1-2t (die Parameter eliminieren sich immer selbst). Das hieße, dass g in der Ebene liegt. Habe ich meine Ebenengleichung falsch aufgestellt?
[mm] E:\overrightarrow{x}= \pmat{ -2 \\ 2 \\ -1 } [/mm] + s* [mm] \pmat{ 0 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + t* [mm] \pmat{ -4 \\ 4 \\ 2 }
[/mm]
Grüße Andreas
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> ich poste erstmal meine neu aufgestellte Ebene. Ich habe
> mit ihr und g1 gerade ein Gleichungssystem aufgestellt, um
> den Schnittpunkt bzw. den Durchstoßpunkt zu berechnen.
> Allerdings hat das meiner Meinung nach unendlich viele
> Lösungen, ich bekomme ständig z.B. 5-2t=-1-2t (die
> Parameter eliminieren sich immer selbst). Das hieße, dass g
> in der Ebene liegt. Habe ich meine Ebenengleichung falsch
> aufgestellt?
>
> [mm]E:\overrightarrow{x}= \pmat{ -2 \\ 2 \\ -1 }[/mm] + s* [mm]\pmat{ 0 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
> + t* [mm]\pmat{ -4 \\ 4 \\ 2 }[/mm]
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dein gleichungssystem hat keine lösung [mm] $5\not=-1$ [/mm] somit schneidet deine ebene die gerade [mm] $g_1$ [/mm] nicht...warum? nun, du hast beim aufstellen deiner ebene die gerade [mm] $g_3$ [/mm] benutzt...somit liegt [mm] $g_3$ [/mm] auch in deiner ebene und da [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_3$ [/mm] parallel sind, läuft auch deine ebene parallel an [mm] $g_1$ [/mm] vorbei...somit keine schnittpunkte.
wir brauchen eine ebene, die orthogonal zu den geraden verläuft. weiß nicht ob dir die "hessesche normalform" bzw "koordinatendarstellung einer ebene" was sagt?! das wäre einfacher aber du hast mit der "parameterdarstellung" angefangen also machen wir mal da weiter.
als stützvektor nehmen wir den punkt Q und nu brauchen wir zwei richtungsvektoren, die orthogonal zu den geraden verlaufen, also orthogonal zu den richtungsvektoren sind. sprich das skalarprodukt von richtungsvektor und vektor ? muß 0 ergeben...
somit:
[mm] $E:\overrightarrow{x}= \pmat{ -2 \\ 2 \\ -1 }+ [/mm] s* [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }+t* \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }$
[/mm]
die wäre z.b. orthogonal zu beiden geraden...damit ließe sich jetzt der durchstoßpunkt berechnen
ok?
-molek-
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Jetzt hab ich das verstanden. Ich fasse mal für mich selbst zusammen: Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, so sind diese orthogonal zueinander.
Anhand der richtigen Ebenengleichung und g1 konnte ich die Aufgabe auch gut weiterführen:
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Mein Ergebnis lautet nun: Der Abstand von g1 und g3 beträgt 3 LE. Ist das richtig?
Grüße Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo Andreas,
habt ihr schon den Abstand eines Punktes von einer Geraden gehabt? Dann musst Du nur den Abstand Q von g1 ausrechnen.
Ansonsten finde ich den Weg zu umständlich. Ich habe genommen: irgendeinen Punkt P auf g1 und dessen Abstandsvektor zu Q hingeschrieben:
$P - Q = [mm] \vektor{0\\3\\1} [/mm] + r [mm] \vektor{-2\\2\\1} [/mm] - [mm] \vektor{-2\\2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{2-2r\\1+2r\\2+r}$
[/mm]
Um den Abstand zu erhalten muss dieser Vektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen:
[mm] $\vektor{2-2r\\1+2r\\2+r} [/mm] * [mm] \vektor{-2\\2\\1} [/mm] = 0$
Daraus folgt r = 0 und diesen Punkt D hast Du ja auch gefunden. Der Abstand mit 3 LE stimmt dann auch.
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