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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 So 03.01.2010 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome [mm] R_{\le1}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt
<p,q> := [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x) q(x) dx}
[/mm]
Berechnen Sie die Quadrate der Abstände
[mm] d^2_{1,2} [/mm] = || [mm] p_{1}-p_{2}||^2
[/mm]
[mm] d^2_{2,3} [/mm] = || [mm] p_{2}-p_{3}||^2
[/mm]
[mm] d^2_{1,3} [/mm] = || [mm] p_{1}-p_{3}||^2
[/mm]
zwischen folgenden Polynomen:
[mm] p_{1}(x) [/mm] = 2 + x
[mm] p_{2}(x) [/mm] = 1- 4x
[mm] p_{3}(x) [/mm] = 2 + 2x |
Ich habe den Verdacht, dass ich diese Aufgabe falsch berechne, weil ich bei anderen Übungsaufgaben nicht auf das richtige Ergebnis komme.
Vielleicht kann mir einer sagen, an welcher Stelle ich falsch liege.
Ich beginne mit [mm] d^2_{1,2} [/mm] = || [mm] p_{1}-p_{2}||^2:
[/mm]
Laut Definition müsste die Norm [mm] ||p_{1}-p_{2}|| [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] sein.
[mm] [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{(p_{1}-p_{2})(p_{1}-p_{2})}
[/mm]
[mm] (p_{1}-p_{2})(p_{1}-p_{2}) [/mm] = [mm] 25x^2 [/mm] + 10x + 1
Davon die Stammfunktion: [mm] 25/3x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + x
Und integriert [mm] 25/3*1^3 [/mm] + [mm] 5*1^2 [/mm] + 1 [mm] -(25/3*(-1^3) [/mm] + [mm] 5*(-1^2) [/mm] +(-1))
= 25/3 + 5 + 1 -(-25/3 + 5 -1)
= 50/3 +2 = 56/3
Und natürlich nicht die Wurzel vergessen : [mm] \wurzel{56/3}. [/mm]
Und ich bin mir nicht sicher, ob ich das jetzt auch noch quadrieren muss, dann wäre [mm] d^2_{1,2}= [/mm] 56/3.
Stimmt das nun für diesen Abstand?
Die anderen würde ich ja äquivalent berechnen.
Dankeschön!
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Habe deine Werte nicht nachgerechnet, die Idee ist aber richtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 So 03.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich finde auch die Rechnung richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 So 03.01.2010 | | Autor: | Aoide |
Danke!
Ich hab dann bei den anderen beiden 26 und 2/3.
Hoffe mal das stimmt und ich hab mich nicht verechnet ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 03.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich komme auf die gleichen Werte.
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