Abstandsformel < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll von dem Abstand eines Punktes zu einer Gerade eine andere Berechnung dieses Abstandes herleiten.
Die Gerade G sei gegeben durch {(x,y) : y = mx+b}
und der Abstand eines Punktes von der Gerade ist dann:
d(z,G) = min [mm] (\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-y)^2)}).
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass sich der Abstand ebenfalls folgendermaßen berechnen lässt:
d(z,G) = [mm] \bruch{1}{1+m^2} \parallel \pmat{ m^2 & -m \\ -m & 1 } \vektor{z_1 \\ z_2 - b}\parallel_2
[/mm]
Leider fehlt mir hier total der Ansatz und würde mich freuen wenn ihr mir einmal mit dem Zaunpfahl winkt.
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Hallo hilbert,
> Ich soll von dem Abstand eines Punktes zu einer Gerade eine
> andere Berechnung dieses Abstandes herleiten.
>
> Die Gerade G sei gegeben durch {(x,y) : y = mx+b}
> und der Abstand eines Punktes von der Gerade ist dann:
>
> d(z,G) = min [mm](\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-y)^2)}).[/mm]
Blöde Notation, aber na schön. Wo liegt denn dieses Minimum? Das kannst Du ja abhängig von [mm] z=(z_1,z_2) [/mm] bestimmen. Behandle die Koordinaten von z als Parameter, ersetze y durch mx+b und stelle die Abstandsfunktion [mm] d_z(x) [/mm] auf.
> Nun soll ich zeigen, dass sich der Abstand ebenfalls
> folgendermaßen berechnen lässt:
>
> d(z,G) = [mm]\bruch{1}{1+m^2} \parallel \pmat{ m^2 & -m \\
-m & 1 } \vektor{z_1 \\
z_2 - b}\parallel_2[/mm]
>
> Leider fehlt mir hier total der Ansatz und würde mich
> freuen wenn ihr mir einmal mit dem Zaunpfahl winkt.
Im Zweifelsfall: einfach ausrechnen und zeigen, dass das gerade das in der ersten Form gesuchte Minimum ergibt.
Mir erscheint es allerdings übersichtlicher, den Abstand per linearer Algebra zu bestimmen (also von z aus das Lot auf die Gerade fällen und dann den Abstand des Lotfußpunktes zu z ermitteln).
Dabei sollte eine Form entstehen, die der zweiten Gleichung im Prinzip entspricht, wahrscheinlich nur ohne die Matrizenmultiplikation - sondern eben nur mit deren Ergebnis.
Dann kann man ja immer noch zeigen, dass das das Minimum der Funktion in der ersten angegebenen Form ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay, leider ist die Aufgabe so gestellt^^
Also habe ich folgendes:
d(z,G) = $ [mm] min(\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-y)^2)}). [/mm] $
[mm] =min(\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-mx-b)^2)})
[/mm]
Soll ich jetzt die Klammernauflösen und das ganze dann von x abhängig machen?
Ich soll ja nur zeigen, dass sich der Abstand auch so berechnen lässt, vielleicht kann man da was dran drehen^^
Vielen Dank schomal
Dann quasi ableiten und 0 setzen? Oder verstehe ich deinen Ansatz falsch?
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Hallo nochmal,
> Okay, leider ist die Aufgabe so gestellt^^
Tja, aber die Bearbeitungsmethode darfst Du doch trotzdem selbst wählen. Die Frage ist eher, ob der Aufgabensteller bezwecken wollte, dass Du eine bestimmte Methode an der Aufgabe übst.
> Also habe ich folgendes:
>
> d(z,G) = [mm]min(\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-y)^2)}).[/mm]
>
> [mm]=min(\sqrt{(z_1-x)^2+(z_2-mx-b)^2)})[/mm]
>
> Soll ich jetzt die Klammernauflösen und das ganze dann von
> x abhängig machen?
Wenn Du das "min" weglässt, ist es doch auch so schon eine nur noch von x abhängige Funktion; [mm] m,b,z_1,z_2 [/mm] sind feststehende Parameter.
> Ich soll ja nur zeigen, dass sich der Abstand auch so
> berechnen lässt, vielleicht kann man da was dran drehen^^
Mit den Methoden der Analysis nicht. Ansonsten ist der Abstand eines Punktes von der Geraden doch genau so definiert: der Punkt auf der Geraden, der den kürzesten Abstand von dem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden hat, definiert nicht nur den Lotfußpunkt, sondern zugleich den Abstand des externen Punktes von der Geraden.
> Vielen Dank schomal
> Dann quasi ableiten und 0 setzen? Oder verstehe ich deinen
> Ansatz falsch?
Das verstehst Du richtig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Wenn ich das jetzt ausrechne komme ich auf
x = [mm] \bruch{2z_1-mb+mz_2}{m^2+2}
[/mm]
Entweder hab ich mich verrechnet oder das bringt mir doch was und ich seh es nicht^^
Aber schonmal Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast den Punkt P=(u1,u2)
wenn du den Abstand zu der Geraden y=mx bestimmen kannst , bist du fertig, weil du deine Gerade y=mx+b und deinen pinkt einfach um b nach unten schieben kannst un den Abstand von (z1,z2-b) bestimmen.
Wenn du weisst, was ein Skalarprodukt ist und tut: wenn du die Projektion des Vektors [mm] \vektor{u1\\u2} [/mm] auf den Einheitsvektor der Geraden: [mm] 1/(1+m^2)*vektor{1\\m} [/mm] von dem Vektor [mm] vektor{u1\\u2} [/mm] abziehst hast du den auf der Graden senkrechten Vektor der durch den punkt geht. davon der Betrag ist der Abstand.
mach die dazu ne Zeichnung: erst Gerade und Punkt um b nach unten, dann die projektion=Skalarprodukt, dann von dem Vektor zum punkt abziehen.
Das ergibt genau deine Formel!, nachdem du die matrix mit dem Vektor mul. hast.
Aber wirklich erst ohne das b machen um es zu verstehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Di 06.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich verstehe die Zeichnung die machen soll leider nicht so ganz.
Und deswegen vermutlich die Lösung.
Also ich soll eine Gerade und einen Punkt zeichnen, den Punkt dann um b nach unten verschieben, das Skalarprodukt von den beiden Vektoren (der eine ist mein [mm] (u_1,u_2) [/mm] und der andere der normierte Richtungsvektor der Geraden?). Dann verbinden?
So geht es bei mir jedenfalls nur auf in der Zeichung^^
Und alles was ich brauche ist nun:
[mm] |\vektor{u_1 \\ u_2}-\bruch{1}{1+m^2} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ m}*\vektor{u_1 \\ u_2}| [/mm] ?
Hatte das Skalarprodukt vergessen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
lass das Verschieben erstmal weg. bestimme den Abstand eines Punktes, von einer Geaden durch (0.0)
zeichne die Gerade, den Vktor zum Punkt, dann die Komponente in Richtung der Geraden und die senkrechte dazu.
Das Skalarprodukt mit dem Einheitsvektor der Geraden ergibt die Länge der komponente in geradenrichtung, die vom Vektor abgezogen die senkrechte Komponente, bzw den senkrechten Vektor, der Betrag seiner Länge ist der Abstand.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Di 06.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Ja okay das habe ich verstanden.
Das heißt doch aber wenn ich mir die Gerade y=mx anschaue und den Abstand von [mm] P(u_1,u_2) [/mm] berechnen möchte, bilde ich zuerst das Skalarprodukt von dem Einheitsvektor der Geraden und dem Vektor zum Punkt.
[mm] \vektor{1 \\ m}*\vektor{u_1 \\ u_2}. [/mm] Das gibt mir jetzt [mm] u_1+mu_2.
[/mm]
Das muss ich jetzt mit dem Einheitsvektor multiplizieren also
[mm] (u_1+mu_2)*\vektor{1 \\ m}
[/mm]
und von meinem Punkt abziehen:
[mm] \vektor{u_1 \\ u_2} [/mm] - [mm] (u_1+mu_2)*\vektor{1 \\ m}
[/mm]
Und der Betrag da von ist jetzt mein Abstand.
Ist das soweit Richtig, wenn ich das verschieben rauslasse?
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Hallo hilbert,
> Ja okay das habe ich verstanden.
>
> Das heißt doch aber wenn ich mir die Gerade y=mx anschaue
> und den Abstand von [mm]P(u_1,u_2)[/mm] berechnen möchte, bilde ich
> zuerst das Skalarprodukt von dem Einheitsvektor der Geraden
> und dem Vektor zum Punkt.
>
> [mm]\vektor{1 \\ m}*\vektor{u_1 \\ u_2}.[/mm] Das gibt mir jetzt
> [mm]u_1+mu_2.[/mm]
>
> Das muss ich jetzt mit dem Einheitsvektor multiplizieren
> also
>
> [mm](u_1+mu_2)*\vektor{1 \\ m}[/mm]
>
Der Einheitsvektor lautet doch hier: [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+m^{2}}}*\pmat{1 \\ m}[/mm]
> und von meinem Punkt abziehen:
>
> [mm]\vektor{u_1 \\ u_2}[/mm] - [mm](u_1+mu_2)*\vektor{1 \\ m}[/mm]
>
Dann muss hier stehen:
[mm]\vektor{u_1 \\ u_2} - \bruch{u_{1}+m*u_{2}}{\wurzel{1+m^{2}}}*\vektor{1 \\ m}[/mm]
> Und der Betrag da von ist jetzt mein Abstand.
>
> Ist das soweit Richtig, wenn ich das verschieben rauslasse?
Bis auf die angebrachten Korrekturen ist das richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 06.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Und wenn ich das ausrechne, komme das gleiche raus wie bei der Aufgabe ?
Das mit dem [mm] 1+m^2 [/mm] verstehe ich, das war mein Fehler.
Schonmal riesen Dank dafür.
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Hallo hilbert,
> Und wenn ich das ausrechne, komme das gleiche raus wie bei
> der Aufgabe ?
Rechne es doch mal aus! Es ist nicht so viel Arbeit.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay hier mal meine Versuche:
$ [mm] \parallel \vektor{u_1 \\ u_2} [/mm] - [mm] \bruch{u_{1}+m\cdot{}u_{2}}{\wurzel{1+m^{2}}}\cdot{}\vektor{1 \\ m} \parallel$
[/mm]
= [mm] \parallel \vektor{u_1-\bruch{u_1+mu_2}{\sqrt{1+m^2}} \\ u_2-\bruch{(u_1+mu_2)m}{\sqrt{1+m^2}}} \parallel
[/mm]
= [mm] ((u_1-\bruch{u_1+mu_2}{\sqrt{1+m^2}})^2 [/mm] + [mm] (u_2-\bruch{(u_1+mu_2)m}{\sqrt{1+m^2}})^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Und wenn ich hier jetzt versuche [mm] \bruch{1}{1+m^2} [/mm] rauszukriegen scheiter ich immer völlig =/
Ist das echt so einfach auszurechnen und ich bin so doof?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 07.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay hier mal meine Versuche:
>
> [mm]\parallel \vektor{u_1 \\ u_2} - \bruch{u_{1}+m\cdot{}u_{2}}{\wurzel{1+m^{2}}}\cdot{}\vektor{1 \\ m} \parallel[/mm]
das ist noch falsch! natürlich ist der anteil des Vektosrs in Richtung der Geraden das skalarprodukt mit dem richtungsvektor* dem einheitsvektor.
also steht im Nenner nicht [mm] \wurzel{1+m^{2}} [/mm] sondern [mm] 1+m^2
[/mm]
dann erweitere [mm] \vektor{u1\\u2} [/mm] mit [mm] 1+m^2 [/mm] und zieh dann [mm] 1/(1+m^2) [/mm] vor das ganze
Dann rechne den Betrag nicht aus, sondern vergleich mit der Formel, die du beweisen sollst (mit b=0) , da ist der Betrag ja auch nicht ausgerechnet.
gruss leduart
> = [mm]\parallel \vektor{u_1-\bruch{u_1+mu_2}{\sqrt{1+m^2}} \\ u_2-\bruch{(u_1+mu_2)m}{\sqrt{1+m^2}}} \parallel[/mm]
>
> = [mm]((u_1-\bruch{u_1+mu_2}{\sqrt{1+m^2}})^2[/mm] +
> [mm](u_2-\bruch{(u_1+mu_2)m}{\sqrt{1+m^2}})^2)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Und wenn ich hier jetzt versuche [mm]\bruch{1}{1+m^2}[/mm]
> rauszukriegen scheiter ich immer völlig =/
>
> Ist das echt so einfach auszurechnen und ich bin so doof?
nee du willst nur was falsches ausrechnen!
Aber ich hatte immer gesagt, du sollst die Rechng mit deiner Zeichnung in Einklang bringen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hilbert |
Das mit der Wurzel kam ja erst gar nicht von mir, aber so werde ich das jetzt erstmal versuchen.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:55 Do 08.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
da 2 mal der einheitsvektor benutzt werden muss ist die formel mit der wurzel noch falsch.
Gruss leduart
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