Abstandsproblem bei 3 Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Ebene E1 ist durch die Vektoren A (1/2/3), B (5/5/5) und C (-1/3/-2) definiert.
Die Ebenen E2 und E3 haben von E1 den Abstand 2.
Gib die Allgemeine Normalenfrom der Ebenen E2 und E3 an! |
Ich habe damit begonnen die Ebenengleichung E1 aufzustellen:
E1 = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda *\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu *\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]
Dann habe ich den Normalenvektor ausgerechnet.
Vektor n [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm]
Ab dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter!
Wie komme ich nun auf die Ebenengleichungen von E2 und E3, bei denen der Abstand von Ebene E1 2 beträgt?
Ist der Ansatz richtig, dass die Richtungsvektoren in allen drei Ebenen gleich sein müssen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo Species8472,
> E1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda *\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\mu *\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
> Dann habe ich den Normalenvektor ausgerechnet.
> Vektor n [mm]\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
Anm: Ich habe nicht geprüft ob dein normalenvektor stimmt.
> Ab dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter!
> Wie komme ich nun auf die Ebenengleichungen von E2 und E3,
> bei denen der Abstand von Ebene E1 2 beträgt?
>
> Ist der Ansatz richtig, dass die Richtungsvektoren in allen
> drei Ebenen gleich sein müssen?
Ja der Ansatz ist richtig, schön wäre nun noch wenn du auch begründen könntest warum das so sein muss.
Wenn die richtungsvektoren gleich bleiben müssen was hast du denn dann noch über um die ebenen 2 und 3 zu berechnen?
Warum genau hast du denn den normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] ausgerechnet? Ich denke doch das du das nicht ohne grund gemacht hast.
Vielleicht noch ein kleider tipp mit auf deinem weg, erinnerst du dich daran wie in der schule zum ersten mal ne gerade parallel verschoben wurde? also mit dreieck und lineal. das hier hat ne menge damit zu tun.
mfg Maxi
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Hallo Maxi, danke erstmal für deine Tipps.
Also die Richtungsvektoren müssen gleich sein, da die Ebenen parallel sein müssen, da sie den Abstand 2 von der Ebene E1 haben.
Den Normalenvektor habe ich ausgerechnet, da dieser senkrecht durch alle Ebenen geht.
Die Ebene E2 sieht bei mir momentan wie folgt aus:
E2= [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm]
So weit so gut! An deser Stelle komme ich jetzt nicht mehr weiter.
Wie komme ich an den Stützvektor für die Ebene E2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey Species,
vorweg erstmal: du solltest in zukunft beim post absenden aufpassen. dass es auch ne frage ist, sonst kannst du mit pech ewig warten bis jemand antwortet.
ok zu deiner frage:
Ich würde es dir ja eig. gern aufmalen, dann würdst du in null komma nix selber drauf kommen aber das geht hier nur schlecht.
E1 = $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot{}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \mu \cdot{}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] $
und
E2= $ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \mu [/mm] $ * $ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] $
außerdem hast du den normalenvektor berechnet, der war: n= $ [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] $
ihr habt bestimmt schon gelernt einen vektor auf die länge 1 zurechtzustutzen?! wenn ja dann mach das mal.
warum? naja was uns fehlt sind ja die ortsvektoren der ebenen 2 und 3. was wir haben ist der ortsvektor von ebene 1. wenn wir den also mit hilfe das normalenvektors um genau die länge 2 verschieben sollten wir ja eigentlich einen punkt erhalten der in ebene 2 oder ebene 3 liegt. den anderen kriegst du dann wenn du in die andere richtung (mal -1) verschiebst. was du dann mit den punkten machst weißt du denke ich selbst.
wenn nich oder wenn noch was unklar ist, wie gesagt einfach nachfragen.
mfg maxi
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Ich weiß auch net das Problem ist glaub ich zu einfach ; )
Ich komm net drauf.
Also ich habe mit Hilfe der Hesseischen Normalenform die Koordinatenform aufgestellt: (-17x1 +16x2 [mm] +10x3)/(\wurzel{645}) [/mm] =0
Diese Gleichung habe ich gleich dem Abstand gesetzt.
Also: (-17x1 +16x2 [mm] +10x3)/(\wurzel{645}) [/mm] =2
Ist das richtig und wenn ja wie mache ich jetzt weiter?
@Maxi: Danke für deine aktve Mithilfe!!
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> Ich weiß auch net das Problem ist glaub ich zu einfach ; )
> Ich komm net drauf.
> Also ich habe mit Hilfe der Hesseischen Normalenform
Hallo,
Hessesche Normalenform ist auch eine gute Idee.
Stell doch mal die Hessesche Normalenform der Ebene [mm] E_1 [/mm] auf. Daran kannst Du ja ihren Abstand vom Ursprung ablesen.
So, und wenn nun [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] parallele Ebenen zu [mm] E_1 [/mm] sein sollen, welche von [mm] E_1 [/mm] beide den Abstand 2 haben, wie groß wird dann ihr Abstand vom Ursprung sein?
Wenn Du das weißt, kannst Du schnell die Hessesche Normalenform der beiden aufstellen.
Gruß v. Angela
die
> Koordinatenform aufgestellt: (-17x1 +16x2
> [mm]+10x3)/(\wurzel{645})[/mm] =0
> Diese Gleichung habe ich gleich dem Abstand gesetzt.
> Also: (-17x1 +16x2 [mm]+10x3)/(\wurzel{645})[/mm] =2
> Ist das richtig und wenn ja wie mache ich jetzt weiter?
>
> @Maxi: Danke für deine aktve Mithilfe!!
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Also ich glaub ich habs....
Hier mein Lösungsweg:
E1= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
Mit Hilfe eines Gleichungssystems den Normalenvektor [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] ausrechnen.
Hessische Normalenform der Ebene E1 aufstellen:
[mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-45=0
[/mm]
Da -45 Abstand zum Ursprung müssten die Gleichungen (in allgemeiner Normalenform) der anderen beiden Ebenen lauten:
zu E1 [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-47=0
[/mm]
zu E2 [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-43=0
[/mm]
Kann das bitte einer mal nachrechnen und mir dann sagen, ob das die richtige Lösung ist?
Danke @ all!!!
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Hallo,
für die Hessesche Normalenform brauchst Du "vorne" einen Einheitsvektor! Es muß also noch normiert werden in [mm] E_1, [/mm] erst dann kannst Du den Abstand ablesen.
Aber vom Prizip her läuft's dann so weiter, wie Du 's gemacht hast.
Gruß v. Angela
> Also ich glaub ich habs....
>
> Hier mein Lösungsweg:
>
> E1= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Mit Hilfe eines Gleichungssystems den Normalenvektor
> [mm]\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm] ausrechnen.
>
> Hessische Normalenform der Ebene E1 aufstellen:
> [mm]\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-45=0[/mm]
>
> Da -45 Abstand zum Ursprung müssten die Gleichungen (in
> allgemeiner Normalenform) der anderen beiden Ebenen
> lauten:
> zu E1 [mm]\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-47=0[/mm]
>
> zu E2 [mm]\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}-43=0[/mm]
>
> Kann das bitte einer mal nachrechnen und mir dann sagen, ob
> das die richtige Lösung ist?
> Danke @ all!!!
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Kann mir einer kurz helfen? Wie normiert man nochmal den Normalenvektor?
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> Kann mir einer kurz helfen? Wie normiert man nochmal den
> Normalenvektor?
Hallo,
indem man durch seine Länge teilt.
Du mußt in [mm] E_1: [/mm] $ [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}\vec{x}-45=0 [/mm] $ dann die komplette Gleichung durch die Länge des Normalenvektors dividieren, also so:
[mm] E_1: \bruch{1}{\wurzel{645}}\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}\vec{x}-\bruch{45}{\wurzel{645}}=0
[/mm]
Schade, daß sowas Krummes herauskommt, aber ich habe keinen Fehler entdeckt.
Gruß v. Angela
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Ach ja...
Dann ist [mm] -\bruch{45}{645} [/mm] der Abstand vom Ursprung.
Dann lautet die Ebene E2: [mm] \bruch{1}{645}* \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}-\bruch{83}{43}=0 [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 18.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo species!
Prinzipiell rechnest Du es richtig. Aber im Nenner des Abstandes bzw. als faktor vor dem Normalenvektor lautet [mm] $\wurzel{645}$ [/mm] (mit Wurzel!).
Gruß
Loddar
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> Ach ja...
> Dann ist [mm]-\bruch{45}{645}[/mm] der Abstand vom Ursprung.
Nein, weil ich einen Fehler im vorhergehenden Post hatte - welchen Du eigentlich hättest bemerken sollen, denn Du hattest die Länge des Vektors doch auch schonmal ausgerechnet am Anfang.
Der Abstand vom Ursprung von [mm] E_1 [/mm] ist [mm] \bruch{45}{\wurzel{645}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Aber ist nicht der Abstand vom Ursprung -45? Dachte ich immer, dass man in der allgemeinen Normalenform den Abstand am "Ende" ablesen kann!
> Nein, weil ich einen Fehler im vorhergehenden Post hatte -
> welchen Du eigentlich hättest bemerken sollen, denn Du
> hattest die Länge des Vektors doch auch schonmal
> ausgerechnet am Anfang.
>
> Der Abstand vom Ursprung von [mm]E_1[/mm] ist
> [mm]\bruch{45}{\wurzel{645}}[/mm]
Also wenn [mm] \bruch{45}{645} [/mm] der Abstand ist, lautet dann die Ebenengleichung E2 [mm] \begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}- \bruch{45}{\wurzel{645}}=0??
[/mm]
Danke für eure aktive Mitarbeit.....!!!
Ich gleub so langsam komme ich hinter den Trick!
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> Aber ist nicht der Abstand vom Ursprung -45? Dachte ich
> immer, dass man in der allgemeinen Normalenform den Abstand
> am "Ende" ablesen kann!
Hallo,
Du hattest die allgemeine Normalenform [mm] E_1:\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}\vec{x}-45=0 [/mm] .
Hieran kannst Du den Abstand nicht sehen.
Sehen kannst Du den Abstand, wenn der Normalenvektor normiert ist. Hier ist die Länge des Normalenvektors [mm] \wurzel{645}.
[/mm]
Dividierst Du die komplette (!) Gleichung durch [mm] \wurzel{645}, [/mm] so beschreibt sie dieselbe Ebne [mm] E_1 [/mm] wie zuvor. Nun ist aber der Normalenvektor normiert, hat also Länge 1, und Du kannst an der Zahl den Abstand vom Ursprung ablesen.
Der Abstand der einen Ebene ist dann 2 größer und der der anderen 2 kleiner. Auch hier mußt Du dann für die Gleichung den normierten Vektor nehmen.
Gruß v. Angela
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Also:
Ebene E1: [mm] \bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}-\bruch{45}{\wurzel{645}} [/mm] =0
Und jetzt [mm] \bruch{45}{\wurzel{645}} [/mm] +2= 0,2281
Also die Ebene E2: [mm] \bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}+0,2281 [/mm] =0
Ok Jetzt kann ich dann noch die ganze Gleichung mit [mm] \wurzel{645} [/mm] multiplizieren.
Gut. Danke für Eure Hilfe!
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> Also:
> Ebene E1: [mm]\bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}-\bruch{45}{\wurzel{645}}[/mm]
> =0
>
> Und jetzt [mm]\bruch{45}{\wurzel{645}}[/mm] +2= 0,2281
Hallo,
ich bekomme da was anderes raus, nämlich [mm] \approx [/mm] 3.77,
die Gleichung wäre dann
E2: [mm]\bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}\red{-} 3.77[/mm]=0 .
Dann die andere:
[mm] \bruch{45}{\wurzel{645}}[/mm] [/mm] -2= -0,2281,
die Gleichung der Ebene wäre
[mm] E_3:[/mm] [mm]\bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}\red{-} (-0.2281)[/mm] =
> Also die Ebene E2: [mm]\bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}+0,2281[/mm]
> =0
>
> Ok Jetzt kann ich dann noch die ganze Gleichung mit
> [mm]\wurzel{645}[/mm] multiplizieren.
Nein, daß hast Du falsch verstanden: normiert ist schon längst, denn ursprungliche Gleichung für [mm] E_1 [/mm] (die mit -45) wurde doch längst mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{645}} [/mm] durchmultipliziert.
Du mußt den Faktor vor dem Vektor mitbetrachten: [mm] \bruch{1}{ \wurzel{645}} *\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] ist ein Normaleneinheitsvektor, womit Du nun fertig bist. Bei Lust kannst Du den Faktor auch in den Vektor holen, aber das ist mühsamer zu schreiben.
Gruß v. Angela
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Gut Ok soweit habe ich es endlich verstanden!
Aber das mit dem multiplizieren mit [mm] \wurzel{645} [/mm] meinte ich, damit der Bruch vor dem Normalenvektor verschwindet!
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> Gut Ok soweit habe ich es endlich verstanden!
> Aber das mit dem multiplizieren mit [mm]\wurzel{645}[/mm] meinte
> ich, damit der Bruch vor dem Normalenvektor verschwindet!
Das darfst Du aber nicht machen, denn sonst ist es kein Einheitsvektor mehr. Und wenn Du den Vektor mit was multiplizierst, mußt Du die Zahl mit demselben multiplizieren.
Was Du darfst:
$ [mm] \bruch{1}{ \wurzel{645}} \cdot{}\begin{pmatrix} -17 \\ 16 \\ 10 \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}+0,2281 [/mm] $ = [mm] $\begin{pmatrix} \bruch{-17}{ \wurzel{645}} \\ \bruch{16}{ \wurzel{645}} \\ \bruch{10}{ \wurzel{645}} \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix}+0,2281 [/mm] $
Gruß v. Angela
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Frage ist beantwortet. Habe jetzt die Lösung!
Danke für Eure Hilfe und vor allem für Eure Geduld...
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