Abzählbarkeit Indexmenge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{F}, \IP). [/mm] Hier sei I eine Indexmenge und [mm] (A_{n})_{n\in I} \subset \mathcal{F} [/mm] Ereignisse mit [mm] A_{i}\cap A_{j}= \emptyset [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] und [mm] \IP(A_{n})>0 [/mm] für alle [mm] n\inI. [/mm]
Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar? Der Prof hatte das in Vorlesung angeschrieben, aber nicht gezeigt warum das gilt und ich komme da einfach nicht hinter. Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen 
Meine Idee war: Da die [mm] \summe \IP(A_{n})=1, [/mm] muss I abzählbar sein. Aber keine Ahnung ob das richitg ist, und wenn ja wie man das zeigt....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey Leute,
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> ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{F}, \IP).[/mm]
> Hier sei I eine Indexmenge und [mm](A_{n})_{n\in I} \subset \mathcal{F}[/mm]
> Ereignisse mit [mm]A_{i}\cap A_{j}= \emptyset[/mm] für [mm]i\not=j[/mm] und
> [mm]\IP(A_{n})>0[/mm] für alle [mm]n\inI.[/mm]
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> Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar?
Wenn Du das aus einem größeren Zusammenhang herausreißt, kann Dir die Frage niemand beantworten.
Sind noch weitere Eigenschaften von [mm] (A_{n})_{n\in I} [/mm] bekannt ?
FRED
> Der
> Prof hatte das in Vorlesung angeschrieben, aber nicht
> gezeigt warum das gilt und ich komme da einfach nicht
> hinter. Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen
>
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> Meine Idee war: Da die [mm]\summe \IP(A_{n})=1,[/mm] muss I
> abzählbar sein. Aber keine Ahnung ob das richitg ist, und
> wenn ja wie man das zeigt....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 14.05.2012 | | Autor: | JigoroKano |
Hallo,
leider haben wir keine weiteren Informationen....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:49 Di 15.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo JigoroKano,
> Meine Idee war: Da die [mm]\summe \IP(A_{n})=1,[/mm]
Du meintest wohl [mm] $\le$ [/mm] statt $=$. Ich wäre etwas vorsichtig mit der Summenschreibweise, solange nicht klar ist, dass $I$ abzählbar ist.
> Meine Frage: warum ist I hier höchstens abzählbar?
Wegen [mm] $P(A_i)>0$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$ gilt:
[mm] $I=\bigcup_{m\in\IN_{>0}}I_m$
[/mm]
mit
[mm] $I_m:=\{i\in I\;|\;P(A_i)\ge\bruch1m\}$.
[/mm]
Daher genügt es zu zeigen, dass die Mengen [mm] $I_m$ [/mm] endlich (und somit höchstens abzählbar sind).
Viele Grüße
Tobias
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