Abzählbarkeit von Mengen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] R0(\IN) [/mm] die Menge aller Folgen c: [mm] \IN\to\IN, [/mm] für die es ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt, mit c(n)=0 für alle n größer gleich N. Sei {0,1} hoch [mm] \IN [/mm] die Menge aller Folgen in {0,1} und sei [mm] \IN^\IN [/mm] die Menge aller Folgen in [mm] \IN.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, [mm] R0(\IN) [/mm] abzählbar ist. |
zu zeigen also es ex. eine Abbildung f von [mm] \IN [/mm] nach R0
mit:
i) f ist injektiv
ii) f ist surjektiv
Ich denke Surjektivität ist schnell zu zeigen. Aber wie zeige ich die Injektivität?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]R0(\IN)[/mm] die Menge aller Folgen c: [mm]\IN\to\IN,[/mm] für die
> es ein [mm]N\in\IN[/mm] gibt, mit c(n)=0 für alle n größer gleich
> N. Sei {0,1} hoch [mm]\IN[/mm] die Menge aller Folgen in {0,1} und
> sei [mm]\IN^\IN[/mm] die Menge aller Folgen in [mm]\IN.[/mm]
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> (a) Zeigen Sie, [mm]R0(\IN)[/mm] abzählbar ist.
> zu zeigen also es ex. eine Abbildung f von [mm]\IN[/mm] nach R0
> mit:
> i) f ist injektiv
> ii) f ist surjektiv
>
>
> Ich denke Surjektivität ist schnell zu zeigen.
So, denkst Du ? Wenn Du das denkst, so mußt Du doch schon eine Abb. f im Kopf haben ?
Wie lautet denn die ? Aber ehrlich gesagt glaube ich nicht, dass Du schon eine ganz konkrete Abb. vor Augen hast.
Ich würde es so machen:
Für k [mm] \in \IN_0 [/mm] sei
[mm] \IR_0(\IN)_k:= \{ c: \IN \to \IN: c(n)=0 ~ fuer ~ n>k\}
[/mm]
Dann ist [mm] \IR_0(\IN)_k \cong \IN^{k+1}
[/mm]
Also ist [mm] \IR_0(\IN)_k [/mm] abzählbar.
Wie kommt man damit zu Abzählbarkeit von [mm] \IR_0(\IN) [/mm] ?
FRED
> Aber wie
> zeige ich die Injektivität?
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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