Abzählbarkeitsaxiom, Niemitzki < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Di 22.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1)Im Skript steht:
Konsequenz von AA1 (Topologoscher Raum der das erste Abzählbarkeitsaxiom efüllt):
X ist AA1, x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] o.B.d.A [mm] \mathcal{W}_x =\{W_1 \supseteq W_2 \supseteq .. \} [/mm] Umgebungsbasis
2)Niemytzki-Topologie ist nicht AA2 (erfüllt nicht 2.te Abzählbarkeitsaxiom)
Sei $ [mm] X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0 \} [/mm] $
Wir geben für jedes p=(a,b) $ [mm] \in [/mm] $ X eine Umgebungsbasis an:
b>0: $ [mm] \mathcal{W}(p) [/mm] $ := $ [mm] \{ B_{\epsilon} (p): 0 < \epsilon \le b\} [/mm] $
b=0: $ [mm] \mathcal{W}(p) [/mm] $ := $ [mm] \{ C_{\epsilon} (p): \epsilon>0 \} [/mm] $
wobei $ [mm] C_{\epsilon} [/mm] $ (p) $ [mm] =\{q=(x,y) \in X| d(m,q) < \epsilon\} \cup \{(a,0)\} [/mm] $ mit $ [mm] m=(a,\epsilon) [/mm] $ |
Hallo,
1)Was hat die abzählbarkeit der Umgebungsbasis damit zu tun, dass ich die Elemente der Umgebungsbasis der Größer nach ordnen kann??
Ich verstehe den Zusammenhang nicht.
2)
Sei [mm] \tau [/mm] die Niemytzki-Topologie auf der oberen Halbene X.
Sei [mm] \mathcal{B} [/mm] eine Basis von [mm] \tau.
[/mm]
Nach Vorlesung: O [mm] \subseteq \tau \gdw \forall x\in [/mm] O [mm] \exists [/mm] W [mm] \in \mathcal{W} [/mm] (x): x [mm] \in [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] O
[mm] C_{\epsilon} (x_1, [/mm] 0) ist offen :
Für [mm] x=(x_1,0) [/mm] ist [mm] W:=C_\epsilon (x_1,0)
[/mm]
Für [mm] y=(y_1, y_2) \in B_{\epsilon} (x_1, \epsilon) [/mm] ist [mm] B_{\delta}(y) [/mm] =:W mit [mm] \delta:= \epsilon [/mm] - [mm] d(\vektor{y_1 \\ y_2},\vektor{x_1 \\ \epsilon}
[/mm]
da für z [mm] \in B_{\delta} [/mm] (y) folgt : d [mm] (\vektor{x_1 \\ \epsilon}, \vektor{z_1\\z_2})= [/mm] d [mm] (\vektor{x_1 \\ \epsilon}, \vektor{y_1\\y_2})+d (\vektor{y_1 \\ y_2}, \vektor{z_1\\z_2}) \le [/mm] d [mm] (\vektor{x_1 \\ \epsilon}, \vektor{y_1\\y_2}) [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] - d [mm] (\vektor{x_1 \\ \epsilon}, \vektor{y_1\\y_2}) [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z [mm] \in B_{\epsilon} (x_1, \epsilon)
[/mm]
Nach der Charakerisierung von Basen gilt:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in C_{\epsilon} (x_1,0) \exists B_{x} \in \mathcal{B}: [/mm] x [mm] \in B_x \subseteq C_{\epsilon} (x_1,0) [/mm]
Nun weiß ich nicht wie ich am besten weitermache. "Praktisch" ist es schon klar, dass man ausnutzen möchte, dass die Umgebungsbasis immer nur ein Element der x-Achse enthält und die Basis somit auch. Und aus der Überabzählbarkeit von [mm] \mathbb{R} [/mm] die Tatsache folgt, dass [mm] \mathcal{B} [/mm] überabzählbar ist. Aber das mal exakt aufzuschreiben...
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 23.09.2015 | | Autor: | huddel |
Hi Sissi :)
zu 1.: Im algemeinen kannst du das nicht. Deswegen das O.B.d.A. Salop gesagt: wenn du dir die Konstruktion der Umgebungsbasen [mm] $\mathcal{W}_x$ [/mm] anguckst sind das alles offene Bälle, welche einen fixierten Referenzpunkt $x$ haben und ineinander enthalten sind. für $X$ top. Raum, $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varepsilon_1 \leq \varepsilon_2$ [/mm] ist [mm] $B_{\varepsilon_1}(x) \subset B_{\varepsilon_2}(x)$. [/mm] Damit kannst du die komplette Umebungsbasis sortieren.
zu 2.: Vorweg: das ist nicht böse oder als Vorwurf gemeint, aber du musst mit deinen Notationen korrekter werden...
Definition der Topologie: $p=(a,b)$ wo kommt das $ y $ in [mm] $0\le\epsilon\leq [/mm] y$ her?
Was ist [mm] $\tau$?
[/mm]
Wenn [mm] $\tau$ [/mm] deine Topologie ist, ergibt die aussage $O [mm] \subseteq [/mm] X$ $O$ offen in [mm] $\tau$ [/mm] keinen sinn, da dafür [mm] $O\subseteq\tau$ [/mm] sein müsste. Genau so, wie [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] keine Basis von $X$ sein kann, sondern eine Basis der Topologie [mm] $\tau$
[/mm]
Das ist zwar nicht falsch, aber irgendwie ließt es sich seltsam, wenn du 5 mal ein W als Bezeichnung nutzt.
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
ich weiß nicht genau, was du am Anfang zeigen willst. Das [mm] $C_\varepsilon(x_1,0)$ [/mm] offen ist? Das ist doch per definition der Topologie klar. Oder habe ich da etwas missverstanden?
Kleine Vorsichtsmaßnahme: Bei deiner Abschäzung nutzt du einmal die dreiecksungleichung setzt da aber ein Gleichzeichen hin, was deine Abschätzung zwar nicht falsch macht, aber an der stelle leicht inkorrekt ist.
Ich hätte das aber sowieso abgekürtzt und "per definition klar" hingeschrieben :P
Dein Ansatz ist doch super. Hab keine Angst davor mal ein wenig Text zu schreiben. Es muss nicht immer alles in Quantoren beschrieben werden.
Fang doch damit an, dass du dir [mm] $x_1=(x_1_1,0),x_2=(x_2_1,0)\in [/mm] X$ [mm] $x_1 \ne x_2$ [/mm] nimmst und vllt sogar zeigst, dass es jeweilige Umgebungen aus der Basis geben muss, die sogar disjunkt sind. Das restliche Argument hast du ja schon gebracht.
Warum ist die Niemytzki-Topologie überhaupt AA1?
Ich hoffe das hilft ein wenig :)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 23.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo huddel!
> zu 1.: Im algemeinen kannst du das nicht. Deswegen das
> O.B.d.A. Salop gesagt: wenn du dir die Konstruktion der
> Umgebungsbasen [mm]\mathcal{W}_x[/mm] anguckst sind das alles offene
> Bälle, welche einen fixierten Referenzpunkt [mm]x[/mm] haben und
> ineinander enthalten sind. für [mm]X[/mm] top. Raum, [mm]x \in X[/mm],
> [mm]\varepsilon_1 \leq \varepsilon_2[/mm] ist [mm]B_{\varepsilon_1}(x) \subset B_{\varepsilon_2}(x)[/mm].
X ist nirgendwo als metrischer Raum vorausgesetzt.
Selbst wenn X ein metrischer Raum sein sollte, muss eine beliebige Umgebungsbasis nicht aus offenen Bällen bestehen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 23.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
1)
Verstehe ich leider trotz der Erklärung noch immer nicht.
Umgebunbsbasen müssen doch nicht offen sein?
Ich habe jetzt noch gefunden in einen anderen Skript steht dabei: [sonst [mm] W_n [/mm] := [mm] \bigcap_{j=1}^n W_j]
[/mm]
Wie ist man da sicher, dass man auch alle Umgebungsbasen trifft und nicht weitere hinzufügt?
...............................................................................
EDIT: Ist für mich nun klar nach den Post von tobit!
2)
> ich weiß nicht genau, was du am Anfang zeigen willst. Das $ [mm] C_\varepsilon(x_1,0) [/mm] $ offen ist? Das ist doch per definition der Topologie klar. Oder habe ich da etwas missverstanden?
Nein weil ein Element der Umgebungsbasis nicht offen sein muss. Eine Umgebungsbasis von x ist eine Teilmenge des Umgebungssystems um x. Jede Umgebung um x enthält eine offene Menge, die x enthält muss aber keine offene Menge sein.
Die Topologie ist nur angegeben durch seine Umgebungsbasen.
> Definition der Topologie: p=(a,b) wo kommt das y in $ [mm] 0\le\epsilon\leq [/mm] y $ her?
Sry, also b>0: $ [mm] \mathcal{W}(p) [/mm] $ := $ [mm] \{ B_{\epsilon} (p): 0 < \epsilon \le b\} [/mm] $ soll es heißen
[mm] \tau [/mm] ist die Niemytzki-Topologie auf der oberen Halbene X.
> Wenn $ [mm] \tau [/mm] $ deine Topologie ist, ergibt die aussage $ O [mm] \subseteq [/mm] X $ O offen in $ [mm] \tau [/mm] $ keinen sinn, da dafür $ [mm] O\subseteq\tau [/mm] $ sein müsste. Genau so, wie $ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ keine Basis von X sein kann, sondern eine Basis der Topologie $ [mm] \tau [/mm] $
Klar kann man:"$ O [mm] \subseteq [/mm] X $ offen in $ [mm] \tau [/mm] $" abkürzen mit O [mm] \in \tau. [/mm] Und ein O war da zuviel bei mir...;)
Stimmt, das mit der Basis habe ich ausgebesert.
> Das ist zwar nicht falsch, aber irgendwie ließt es sich seltsam, wenn du 5 mal ein W als Bezeichnung nutzt.
Zuerst habe ich ja nur geschrieben, dass solch ein W gesucht ist und dann Fälle unterschieden, wie jeweils W zu wählen ist.
Es waren ja zwei verschiedene Fälle, deshalb fand ich war das W des ersten Falles nicht mehr relevant.
Zum Bsp zurück:
Seien [mm] x_1=(x_{11},0), x_2=(x_{21},0) \in [/mm] X mit [mm] x_1 \not=x_2 [/mm] dann sind [mm] C_{\epsilon_1} (x_1), C_{\epsilon_2} (x_2) [/mm] offene Umgebungen um [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2,
[/mm]
Wähle [mm] \epsilon_1 [/mm] := [mm] \frac{d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21} \\ 0})}{3} [/mm] und [mm] \epsilon_2:= \epsilon_1
[/mm]
So ist [mm] C_{\epsilon_1} \cap C_{\epsilon_2} [/mm] = [mm] \emptyset:
[/mm]
Denn [mm] :z=\vektor{z_1 \\ z_2} \in C_{\epsilon_1} \cap C_{\epsilon_2} \Rightarrow d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21}\\ 0})=d_2(\vektor{x_{11} \\ \epsilon_1},\vektor{x_{21}\\ \epsilon_1}\le d_2(\vektor{x_{11} \\ \epsilon_1},\vektor{z_1 \\ z_2}) [/mm] + [mm] d_2(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{x_{21} \\ \epsilon_1}) [/mm] < [mm] \frac{2}{3} d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21}\\ 0}) [/mm] Widerspruch!
Die Menge [mm] M:=\{ (x,0) | x \in \mathbb{R}\} [/mm] ist als Einbettung der reellen Zahlen überabzählbar.
Um jeden dieser überabzählbarvielen Punkte gibt es offene(vorher gezeigt) Umgebungen die alle untereinander disjunkt sind.
Sei [mm] \mathcal{B} [/mm] eine Basis von [mm] \tau.
[/mm]
x [mm] \in C_{\epsilon_1} [/mm] (x) und [mm] C_{\epsilon_1} [/mm] (x) [mm] \in \tau \Rightarrow \exists [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}: [/mm] x [mm] \in \mathcal{B} \subseteq C_{\epsilon_1} [/mm] (x)
Da [mm] C_{\epsilon_1} [/mm] (x) für x [mm] \in [/mm] M alle disjunkt sind folgt es gibt überabzählbar viele Basen.
Würde mich über Korrektur freuen!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 24.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Zum Bsp zurück:
> Seien [mm]x_1=(x_{11},0), x_2=(x_{21},0) \in[/mm] X mit [mm]x_1 \not=x_2[/mm]
> dann sind [mm]C_{\epsilon_1} (x_1), C_{\epsilon_2} (x_2)[/mm] offene
> Umgebungen um [mm]x_1[/mm] bzw. [mm]x_2,[/mm]
... für alle [mm] $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$.
[/mm]
> Wähle [mm]\epsilon_1[/mm] := [mm]\frac{d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21} \\ 0})}{3}[/mm]
> und [mm]\epsilon_2:= \epsilon_1[/mm]
>
> So ist [mm]C_{\epsilon_1} \cap C_{\epsilon_2}[/mm] = [mm]\emptyset:[/mm]
> Denn [mm]:z=\vektor{z_1 \\ z_2} \in C_{\epsilon_1} \cap C_{\epsilon_2} \Rightarrow d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21}\\ 0})=d_2(\vektor{x_{11} \\ \epsilon_1},\vektor{x_{21}\\ \epsilon_1}\le d_2(\vektor{x_{11} \\ \epsilon_1},\vektor{z_1 \\ z_2})[/mm]
> + [mm]d_2(\vektor{z_1 \\ z_2},\vektor{x_{21} \\ \epsilon_1})[/mm] <
> [mm]\frac{2}{3} d_2(\vektor{x_{11} \\ 0},\vektor{x_{21}\\ 0})[/mm]
> Widerspruch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Menge [mm]M:=\{ (x,0) | x \in \mathbb{R}\}[/mm] ist als
> Einbettung der reellen Zahlen überabzählbar.
Ja.
(Die "Einbettung" [mm] $f\colon\IR\to M,\;f(x):=(x,0)$ [/mm] ist hier eine Bijektion. Sie ist keine Einbettung im topologischen Sinne, wenn man auf [mm] $\IR$ [/mm] die übliche Topologie zugrunde legt.)
> Um jeden dieser überabzählbarvielen Punkte gibt es
> offene(vorher gezeigt) Umgebungen die alle untereinander
> disjunkt sind.
Das hast du nicht gezeigt.
(Ich vermute auch, dass diese Aussage falsch ist.)
Gezeigt hast du:
Zu je zwei Punkten [mm] $p_1,p_2\in [/mm] M$ mit [mm] $p_1\not=p_2$ [/mm] existieren disjunkte offene Umgebungen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] von [mm] $p_1$ [/mm] bzw. [mm] $p_2$.
[/mm]
> Sei [mm]\mathcal{B}[/mm] eine Basis von [mm]\tau.[/mm]
> x [mm]\in C_{\epsilon_1}[/mm] (x) und [mm]C_{\epsilon_1}[/mm] (x) [mm]\in \tau \Rightarrow \exists[/mm]
> B [mm]\in \mathcal{B}:[/mm] x [mm]\in \mathcal{B} \subseteq C_{\epsilon_1}[/mm]
> (x)
Du meinst sicherlich [mm] $x\in B\subseteq C_{\epsilon_1}$ [/mm] statt [mm] $x\in\mathcal{B}\subseteq C_{\epsilon_1}$.
[/mm]
Was meinst du hier mit [mm] $\varepsilon_1$?
[/mm]
> Da [mm]C_{\epsilon_1}[/mm] (x) für x [mm]\in[/mm] M alle disjunkt sind
> folgt es gibt überabzählbar viele Basen.
Du meinst vermutlich: Die Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist überabzählbar.
Mir erscheint huddels Hinweis mit dem Finden disjunkter Umgebungen zu je zwei Punkten von M leider weniger zielführend zu sein als deine ursprüngliche Idee, die ich nun umsetze:
Sei [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine Basis der Niemytzki-Topologie.
Um die Überabzählbarkeit von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu zeigen, genügt es zu zeigen:
Für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] existiert ein [mm] $B_x\in\mathcal{B}$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $(x,0)\in B_x$, [/mm] aber [mm] $(x',0)\notin B_x$ [/mm] für alle [mm] $x'\in\IR\setminus\{x\}$.
[/mm]
(Wenn das gezeigt ist, liefert nämlich [mm] $f\colon\IR\to\mathcal{B},\; f(x):=B_x$ [/mm] eine injektive Abbildung.
Also ist mit [mm] $\IR$ [/mm] auch [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] überabzählbar.)
Zum Nachweis meiner gerade aufgestellten Behauptung sei [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Da [mm] $C_1((x,0))$ [/mm] eine Umgebung von $(x,0)$ ist, existiert ein [mm] $B_x\in\mathcal{B}$ [/mm] mit [mm] $(x,0)\in B_x\subseteq C_1((x,0))$.
[/mm]
Für jedes [mm] $x'\in\IR\setminus\{x\}$ [/mm] folgt aus [mm] $(x',0)\notin C_1((x,0))$ [/mm] wie gewünscht [mm] $(x',0)\notin B_x$.
[/mm]
Die Offenheit der Mengen der Form [mm] $C_\epsilon((x,0))$ [/mm] spielt für diese Argumentation übrigens keine Rolle.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 24.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Vielen Dank für die Hilfe!
> Da $ [mm] C_1((x,0)) [/mm] $ eine Umgebung von x ist, existiert ein $ [mm] B_x\in\mathcal{B} [/mm] $ mit $ [mm] x\in B_x\subseteq C_1((x,0)) [/mm] $.
Mhm, [mm] C_1((x,0)) [/mm] ist doch eine Umgebung von (x,0)?
und (x,0) [mm] \in B_x \subseteq C_1((x,0)) [/mm] oder kürzt du den vektor (x,0) durch x ab?
> Für jedes $ [mm] x'\in\IR\setminus\{x\} [/mm] $ folgt aus $ [mm] x'\notin C_1((x,0)) [/mm] $ wie gewünscht $ [mm] x'\notin B_x [/mm] $.
Da hätte ich nun geschrieben (x',0) [mm] \not\in C_1((x,0)) \Rightarrow [/mm] (x',0) [mm] \not\in B_x
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Da [mm]C_1((x,0))[/mm] eine Umgebung von x ist, existiert ein
> [mm]B_x\in\mathcal{B}[/mm] mit [mm]x\in B_x\subseteq C_1((x,0)) [/mm].
> Mhm, [mm]C_1((x,0))[/mm] ist doch eine Umgebung von (x,0)?
> und (x,0) [mm]\in B_x \subseteq C_1((x,0))[/mm] oder kürzt du den
> vektor (x,0) durch x ab?
> > Für jedes [mm]x'\in\IR\setminus\{x\}[/mm] folgt aus [mm]x'\notin C_1((x,0))[/mm]
> wie gewünscht [mm]x'\notin B_x [/mm].
> Da hätte ich nun geschrieben (x',0) [mm]\not\in C_1((x,0)) \Rightarrow[/mm]
> (x',0) [mm]\not\in B_x[/mm]
Du hast völlig Recht.
Ich habe meine Antwort nun entsprechend editiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Fr 25.09.2015 | | Autor: | sissile |
Danke so ist alles geklärt.
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 23.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> 1)Im Skript steht:
> Konsequenz von AA1 (Topologoscher Raum der das erste
> Abzählbarkeitsaxiom efüllt):
> X ist AA1, x [mm]\in[/mm] X [mm]\Rightarrow[/mm] o.B.d.A [mm]\mathcal{W}_x =\{W_1 \supseteq W_2 \supseteq .. \}[/mm]
> Umgebungsbasis
Mit der "oBdA-Aussage" ist wohl gemeint:
Es existiert eine Umgebungsbasis [mm] $\mathcal{W}_x$ [/mm] von x, die sich in der Form
[mm] $\mathcal{W}_x=\{W_1,W_2,W_3,\ldots\}$
[/mm]
mit
[mm] $W_1\supseteq W_2\supseteq W_3\supseteq\ldots$
[/mm]
schreiben lässt.
(Es wird nicht behauptet (und wäre auch i.A. falsch), dass sich jede Umgebungsbasis von x so schreiben lässt.)
Beweisskizze:
Wegen AA1 existiert eine Umgebungsbasis [mm] $\mathcal{V}_x$ [/mm] von x, die sich in der Form
[mm] $\mathcal{V}_x=\{V_1,V_2,V_3,\ldots\}$
[/mm]
schreiben lässt.
Wir setzen
[mm] $W_n:=\bigcap_{i=1}^nV_i$
[/mm]
für [mm] $n=1,2,3,\ldots$.
[/mm]
Dann kann man sich überlegen, dass
[mm] $\mathcal{W}_x:=\{W_1,W_2,W_3,\ldots\}$
[/mm]
eine Umgebungsbasis von x ist und
[mm] $W_1\supseteq W_2\supseteq W_3\supseteq\ldots$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 23.09.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank! Nun ist der Punkt für mich geklärt!
LG,
sissi
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