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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 21.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Ein vierköpfiges Leitungsteam eines Hotels möchte eines von sieben Gemälde einer Ausstellung für ihr Restaurant kaufen. Jedes Mitglied der Hotelleitung gibt seine Stimme dem Gemälde, das ihm am besten gefällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich bei diesem Abstimmungsverfahren eine einfache Mehrheit für eines der Gemälde?
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Hallo.
Das ist eigentlich ganz einfaches abzählen, mit dem ich aber nicht klar komme.
Die Leute wählen einstimmig ein Bild
S = { (1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),...,(7,7,7,7) }
|S| = 7
zwei wählen ein Bild, die beiden anderen wählen verschiedene Bilder
Tja, nun wirds heftig.
S= { (1,1,2,3),(1,1,2,4),...(1,1,2,7),(1,1,3,4),(1,1,3,5),... }
Nun weiß ich schon erstens nicht, ob ich auch das Ereignis (1,1,3,2) betrachten muss, ist doch in diesem Fall das selbe wie (1,1,2,3)?
Dann wäre es auch gleich mit (1,2,3,1)
Wie viele Möglichkeiten gibt es hier?
Ich würde sagen (1,1,2,3) - läuft hoch bis 7, d.h. (7,7,2,3), also brauche ich den Faktor 7
Dann habe ich immer noch (wenn z.b. 1,1 gewählt ist) 6 andere Möglichkeiten, zu wählen, und der vierte Wähler hat noch 5
|S| = 7*6*5
1 von 7 Bildern erhält 3, ein anderes 1 Stimme
Der erste kann sich eins von 7 Bildern aussuchen, der zweite und dritte sitmmen dem Bild zu, also haben wir den Faktor 7. Da wird 4 personen haben, kommt der Faktor 4 hinzu, der letzte Mann hat 6 weitere Gemälde zur Auswahl
7*4*6
Stimmt das auch mit den vier Personen? Kann man da so argumentieren? von der Lösung her, wirkt mir das hier richtig....
Mehr Fälle brauche ich ja im Moment nicht, die anderen Fälle stelle ich dann später rein!!!
Danke!!!!
Gruß Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Di 21.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Ein vierköpfiges Leitungsteam eines Hotels möchte eines von
> sieben Gemälde einer Ausstellung für ihr Restaurant kaufen.
> Jedes Mitglied der Hotelleitung gibt seine Stimme dem
> Gemälde, das ihm am besten gefällt. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit ergibt sich bei diesem
> Abstimmungsverfahren eine einfache Mehrheit für eines der
> Gemälde?
>
> Hallo.
> Das ist eigentlich ganz einfaches abzählen, mit dem ich
> aber nicht klar komme.
>
> Die Leute wählen einstimmig ein Bild
> S = { (1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),...,(7,7,7,7) }
>
> |S| = 7
>
> zwei wählen ein Bild, die beiden anderen wählen
> verschiedene Bilder
>
> Tja, nun wirds heftig.
>
> S= {
> (1,1,2,3),(1,1,2,4),...(1,1,2,7),(1,1,3,4),(1,1,3,5),... }
>
> Nun weiß ich schon erstens nicht, ob ich auch das Ereignis
> (1,1,3,2) betrachten muss, ist doch in diesem Fall das
> selbe wie (1,1,2,3)?
> Dann wäre es auch gleich mit (1,2,3,1)
>
> Wie viele Möglichkeiten gibt es hier?
>
> Ich würde sagen (1,1,2,3) - läuft hoch bis 7, d.h.
> (7,7,2,3), also brauche ich den Faktor 7
>
> Dann habe ich immer noch (wenn z.b. 1,1 gewählt ist) 6
> andere Möglichkeiten, zu wählen, und der vierte Wähler hat
> noch 5
>
> |S| = 7*6*5
>
> 1 von 7 Bildern erhält 3, ein anderes 1 Stimme
>
> Der erste kann sich eins von 7 Bildern aussuchen, der
> zweite und dritte sitmmen dem Bild zu, also haben wir den
> Faktor 7. Da wird 4 personen haben, kommt der Faktor 4
> hinzu, der letzte Mann hat 6 weitere Gemälde zur Auswahl
>
> 7*4*6
>
> Stimmt das auch mit den vier Personen? Kann man da so
> argumentieren? von der Lösung her, wirkt mir das hier
> richtig....
>
>
> Mehr Fälle brauche ich ja im Moment nicht, die anderen
> Fälle stelle ich dann später rein!!!
>
> Danke!!!!
>
> Gruß Phoney
Hallo Johann,
ich würde es an deiner Stelle mal mit der Gegenwahrscheinlichkeit versuchen,
denn es funktioniert ja nur dann nicht, wenn zwei oder mehr Bilder die gleiche
Stimmanzahl bekommen haben. Diese Wahrscheinlichkeit solltest du deutlich
einfacher berechnen können.
Gruß
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 22.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Leider hilft mir die Antwort nicht weiter, wie man die Aufgabe konkret löst.
1. vier "Treffer"
z.B. 1,1,1,1 Wahrscheinlichkeit: 1/7*1/7*1/7*1/7
und da man sieben Bilder hat: das Ganze mal 7.
2. drei "Treffer"
z.B. 1,1,1,2 Wahrscheinlichkeit: 1/7*1/7*1/7*6/7
wegen vier Anordnungsmöglichkeiten (1,1,1,2 - 1,1,2,1 - 1,2,1,1 - 2,1,1,1)
mal 4
da man für jeden Dreier 6 Möglichkeiten hat [bzw. 6*4] mal 6
und da man sieben Bilder hat: das Ganze mal 7
= 1/7*1/7*1/7*6/7*4*6*7
3. zwei "Treffer"
hier weiss ich nicht weiter...
Es gibt grundsätzlich den Fall, dass zwei dasselbe Bild auswählen und zwei jeweils ein anderes Bild auswählen (z.B. 1,1,2,3)
Oder dass zwei dasselbe Bild auswählen und zwei ein anderes Bild (z.B. 1,1,2,2)
Wie sind dafür die Wahrscheinlichkeiten?
Insgesamt habe ich ja 2401 Möglichkeiten Bilder und Stimmen anzuordnen, mit Wiederholung.
Fragezeichen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 23.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
zunächst einmal: Was ist hier eine einfache Mehrheit?
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia sagt dazu, es müssen mehr als 50% der abgegeben Stimmen für ein Bild sein. Gehen wir also davon aus, dass jeder der 4 seine Stimme abgibt, dann reduziert sich das Problem auf zwei Fälle:
1. Alle vier stimmen für dasselbe Bild. (Ich nenne das Ereignis [mm] A_4.)
[/mm]
2. Drei stimmen für dasselbe Bild und einer für ein anderes. (Ich nenne das Ereignis [mm] A_3.)
[/mm]
Das Problem ist dasselbe, wie aus den Ziffern 1,...,7 vierstellige Zahlen mit Wiederholung zu bilden.
Wir sind uns einig, dass [mm] $|A_4|=7$, [/mm] also die Anzahl der Möglichkeiten, Zahlen mit vier gleichen Ziffern zu bilden 7 ist.
Was ist nun [mm] $|A_3|$?
[/mm]
Zunächst: Angenommen, Bild 1 hat drei Stimmen (also dreimal kommt die 1 in unserer Zahl vor). Dann gibt es noch 6 Möglichkeiten, die vierte Ziffer zu wählen und je Ziffer noch ${4 [mm] \choose [/mm] 3}$ Anordnungsmöglichkeiten der 4 Ziffern.
Insgesamt gibt es aber 7 Ziffern. Also: [mm] $|A_3|=7 \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] {4 [mm] \choose [/mm] 3}$.
> 2. drei "Treffer"
> z.B. 1,1,1,2 Wahrscheinlichkeit: 1/7*1/7*1/7*6/7
> wegen vier Anordnungsmöglichkeiten (1,1,1,2 - 1,1,2,1 -
> 1,2,1,1 - 2,1,1,1)
> mal 4
> da man für jeden Dreier 6 Möglichkeiten hat [bzw. 6*4]
> mal 6
> und da man sieben Bilder hat: das Ganze mal 7
>
> = 1/7*1/7*1/7*6/7*4*6*7
Hier ist irgendwie eine 6 zuviel reingerutscht, glaube ich... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Insgesamt habe ich ja 2401 Möglichkeiten Bilder und Stimmen
> anzuordnen, mit Wiederholung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm] $|\Omega|=7^4=2401$.
[/mm]
Ich bin der Meinung, hier sind wir schon fertig. Wenn wir aber auch dann eine Entscheidung akzeptieren, wenn ein Bild mehr Stimmen als jedes andere bekommen hat, dann müssen wir noch folgende Möglichkeit zulassen: (Das wäre aber nur eine relative Mehrheit!)
Ein Bild hat zwei Stimmen und zwei davon und untereinander verschiedene Bilder haben jeweils eine Stimme.
Im Zahlenbeispiel: Eine Zahl mit 3 verschiedenen Ziffern bilden, wobei eine davon doppelt vorkommt.
Oder: Ich gehe dann übers Gegenbeispiel und betrachte die Fälle
a) Vier verschiedene Ziffern
b) Zwei verschiedene Ziffern jeweils zweimal.
Ich hoffe, das hilft! 
Viele Grüße
Astrid
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