Achilles und die Schildkröte < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | Achilles und die Schildkröte laufen um die Wette. Dabei läuft die Schildkröte auf einem gleichmäßig auf beliebige Länge dehnbaren Teppich, den Achilles hinter sich herzieht und der an einem Startpunkt befestigt ist. Jeder darf abwechselnd eine Sekunde lang rennen, während der andere stehebleibt. Die Schildkröte fängt mit dem Laufen an, jedoch bekommt Achilles dafür einen Vorsprung von 10m. Es ergibt sich, dass die Schildkröte in der Sekunde 1m und Achilles 10m schafft. Wenn Achilles aber rennt, wird die Schildkröte durch das Dehnen des Teppichs ein Stück vorwärts gebracht. Schafft es die Schildkröte Achilles einzuholen? |
Ich bin gerade etwas am verzweifeln an dieser Aufgabe. Habe mithilfe eines anderen Forums (http://www.onlinemathe.de/forum/Achilles-und-die-Schildkroete) schon Fortschritte gemacht, aber momentan hänge ich in der Luft.
Für Achilles bzw. die Teppichlänge gilt ja 10+10n. Den Streckfaktor des Teppichs habe ich auch berechnet, der wäre ja von z.B. 10m auf 20m, 2, von 20m auf 30m, 30/20=1,5 und von 30m auf 40m wäre er eben 4/3 usw.
Sprich: [mm] \left( \bruch{10+10(n+1)}{10+10n} \right)=\left( \bruch{1}{n+1} \right)+1
[/mm]
Mir ist aber nicht klar, wie ich den Streckfaktor weiter gebrauchen kann, um eine Aussage zu bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 So 11.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] S_n [/mm] und [mm] A_n [/mm] die zurückgelegten Strecken der Schildkröte und Achilles nach n Sekunden sind und [mm] v_A=10 [/mm] und [mm] v_S=1 [/mm] die Geschwindigkeiten der beiden, dann gilt
[mm] A_n=10*(n+1) [/mm] und
[mm] S_n=\bruch{A_n}{A_{n-1}}*(S_n+v_S)
[/mm]
sukzessives einsetzten ergibt
[mm] S_n=(n+1)*S_0+(n+1)*v_S*\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{n-i} [/mm] mit [mm] S_0=0
[/mm]
Die Schildkröte holt Achilles ein wenn [mm] S_n [/mm] > [mm] A_n [/mm] wird. Mit den Anfangsbedingungen und den Geschwindigkeiten muss man also berechnen ab wann gilt
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{n-i}>10 [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
$ [mm] S_n=\bruch{A_n}{A_{n-1}}\cdot{}(S_n+v_S) [/mm] $
Das verstehe ich nicht ganz, du hast da jetzt [mm] S_n [/mm] einmal als Ergebnis und einmal in der Gleichung, auf was bezieht sich das nun?
$ [mm] S_n=(n+1)\cdot{}S_0+(n+1)\cdot{}v_S\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{n-i} [/mm] $ mit $ [mm] S_0=0 [/mm] $
Woher kommen die [mm] S_0=0? [/mm] Wenn das 0 ist, kann ich mir das doch eh sparen oder? Mit der Summe ist der Streckfaktor des Teppichs gemeint oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 11.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
da war ein Tippfehler drin, die Gleichung ist eine rekursive Gleichung und das [mm] S_n [/mm] auf der rechten Seite muss durch [mm] S_{n-1} [/mm] ersetzt werden. [mm] S_n [/mm] beschreibt die Position der Schildkröte zum Zeitpunkt n und [mm] S_{n-1} [/mm] die Position zum Zeitpunkt n-1. Also lautet die Gleichung
(1) [mm] S_n=\bruch{A_n}{A_{n-1}}\cdot{}(S_{n-1}+v_S)
[/mm]
Der Streckfaktor des Teppichs ist der Ausdruck [mm] \bruch{A_n}{A_{n-1}} [/mm] und [mm] S_0 [/mm] ist der Startpunkt der Schildkröte, also [mm] S_0=0
[/mm]
Die rekursive Gleichung bedeutet, dass die Schildkröte zum einen sich immer einen Meter bezogen auf ihren letzten Standort weiterbewegt (beschrieben durch [mm] v_S) [/mm] und die Multiplikation mit dem Streckfaktor beschreibt die Streckung des Teppich die durch die Fortbewegung Achilles entsteht und der damit verbundene zusätzlichen Bewegung der Schildkröte. Damit ergibt sich die neue Position der Schildkröte wie in (1) beschrieben.
Die folgende Gleichung
(2) [mm] S_n=(n+1)\cdot{}S_0+(n+1)\cdot{}v_S\cdot{}\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{1}{n-i}
[/mm]
entsteht durch rekursives einsetzen von (1) ineinander.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Was heißt denn rekursives einsetzen ineinander? Kannst du mir das Ding vllt nochmal schrittweise entwickeln? Wäre echt klasse :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
rekursiv einsetzen : in [mm] s_n [/mm] aus [mm] s_{n-1} [/mm] das aus [mm] s_{n-2} [/mm] usw bis du am anfang angekommen bist. oder von s-1 an vorwärts, bis s-n. und dann sieht man die formel. ein bissel musst du bei so viel schönen vorlagen noch selbst tun!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mo 12.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
hier der Anfang
[mm] S_n=\bruch{A_n}{A_{n-1}}\cdot{}(S_{n-1}+v_S)
[/mm]
[mm] S_{n-1}=\bruch{A_{n-1}}{A_{n-2}}\cdot{}(S_{n-2}+v_S)
[/mm]
also
[mm] S_n=\bruch{A_n}{A_{n-1}}\cdot{}\left[\bruch{A_{n-1}}{A_{n-2}}\cdot{}\left(S_{n-2}+v_S\right)+v_S\right] [/mm] ausmultiplizieren ergibt
[mm] S_n=\bruch{A_{n}}{A_{n-2}}\cdot{}S_{n-2}+\bruch{A_{n}}{A_{n-2}}\cdot{}v_S+\bruch{A_n}{A_{n-1}}\cdot{}v_S
[/mm]
Das insgesamt n-1 mal machen. Dann steht auf der rechten Seite [mm] S_0 [/mm] und Du solltest zu dem Ausdruck kommen den ich schon gepostet habe. Verwende auch die Definition von [mm] A_n.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mi 14.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich denke nun versteh ichs, danke euch!
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