Additionssatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Mo 28.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Satz: Sind die Zufallsvariablen [mm] X_{n}^{2} [/mm] und [mm] X_{m}^{2} [/mm] unabhängig, so ist [mm] X_{n}^{2}+X_{m}^{2} [/mm] ein [mm] X_{n+m}^{2}. [/mm] |
Hallo,
ich möchte obigen Satz zur [mm] \chi^{2}-Verteilung [/mm] beweisen.
Ich denke dies geht mit der Faltungsformel. Oder?
Gibt es diesen Beweis evtl irgendwo im Internet oder in einem Buch???
Nennt man diesen Satz tatsächlich Additionssatz? Oder hat dieser Satz einen anderen Namen???
Der Satz sagt mir ja, dass ich zwei unabhängige Zufallsvariablen addieren kann und sich dann somit die Freiheitsgrade addieren. Sozusagen ist der Satz doch eigentlich eine Rechenregel. Oder???
Wäre dankbar für jeden Tipp.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali!
> Satz: Sind die Zufallsvariablen [mm]X_{n}^{2}[/mm] und [mm]X_{m}^{2}[/mm]
> unabhängig, so ist [mm]X_{n}^{2}+X_{m}^{2}[/mm] ein [mm]X_{n+m}^{2}.[/mm]
Du meinst wohl:
Besitzen stochastisch unabhängige Zufallsvariablen [mm]Y[/mm] und [mm]Z[/mm] die Verteilungen [mm]\chi_n^2[/mm] bzw. [mm]\chi_m^2[/mm], so besitzt [mm]Y+Z[/mm] die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm].
> ich möchte obigen Satz zur [mm]\chi^{2}-Verteilung[/mm] beweisen.
> Ich denke dies geht mit der Faltungsformel. Oder?
Ich habe es auf diesem Wege nicht hinbekommen.
> Gibt es diesen Beweis evtl irgendwo im Internet oder in
> einem Buch???
Einen Beweis mithilfe der Faltungsformel wirst du vermutlich nirgendwo finden, weil man den Zusammenhang lieber durch ein konzeptionelles Argument als über eine komplizierte Integralrechnung zeigt.
> Nennt man diesen Satz tatsächlich Additionssatz? Oder hat
> dieser Satz einen anderen Namen???
Da muss ich passen.
Es gibt ja viele ähnliche Aussagen für andere Verteilungsfamilien als die Familie der [mm]\chi^2[/mm]-Verteilungen.
Mir ist da noch nie ein spezieller Name für solche Eigenschaften begegnet.
> Der Satz sagt mir ja, dass ich zwei unabhängige
> Zufallsvariablen addieren kann und sich dann somit die
> Freiheitsgrade addieren.
Ja. Insbesondere erhalten wir überhaupt wieder eine [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung.
> Sozusagen ist der Satz doch
> eigentlich eine Rechenregel. Oder???
Ich denke, das kann man so sehen.
Wie einfach der Beweis dieses Zusammenhangs (ohne Faltungsformel) ist, hängt von eurem Vorwissen ab.
Ich kann ihn ja mal skizzieren:
Es existiert ein anderer Wahrscheinlichkeitsraum als der von [mm]Y[/mm] und [mm]Z[/mm], auf dem es stochastisch unabhängige Standard-normalverteilteZufallsgrößen [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm] gibt.
Nun setzen wir
[mm]Y':=X_1^2+\ldots+X_{n}^2[/mm]
und
[mm]Z':=X_{n+1}^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm].
Dann sind [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch unabhängig und besitzen die Verteilungen [mm]\chi_{n}^2[/mm] bzw. [mm]\chi_m^2[/mm].
[mm]Y'+Z'=X_1^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm] besitzt die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm].
Da die Verteilung einer Summe zweier stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen nur von den Verteilungen der beiden Zufallsgrößen abhängt, folgt, dass auch [mm]Y+Z[/mm] die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm] besitzt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 28.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
DANKE Tobi,
was wäre wenn ich diesen Satz einfach Additionssatz nenne?
Der Beweis ist - finde ich - sehr übersichtlich und einfach zu verstehen. Aber wie du schreibst nur eine Skizze. Wäre da noch etwas genauer auszuführen oder kann ich mit deinem Beweis den "Additionssatz" als bewiesen sehen?
Ich möchte dich noch etwas anderes fragen.
Woher hast du dein enormes Mathematisches wissen? Vor allem in Wahrscheinlichkeitstheorie???
Hast du irgendwelche Bücher zu empfehlen? Irgendwelche Skripten die es im internet gibt?
Vielen Dank schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> was wäre wenn ich diesen Satz einfach Additionssatz
> nenne?
Ich habe jetzt ![[]](/images/popup.gif) dies hier gefunden.
Also scheint der Name "Reproduktivität der [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung(en)" verwendet zu werden.
> Der Beweis ist - finde ich - sehr übersichtlich und
> einfach zu verstehen. Aber wie du schreibst nur eine
> Skizze. Wäre da noch etwas genauer auszuführen oder kann
> ich mit deinem Beweis den "Additionssatz" als bewiesen
> sehen?
Wenn dir alle Schritte klar sind, kannst du den Zusammenhang als bewiesen ansehen.
Ich wusste halt nicht, was ich als bekannt voraussetzen darf.
Gehen wir ihn nochmal durch:
> Es existiert ein anderer Wahrscheinlichkeitsraum als der von [mm]Y[/mm] und [mm]Z[/mm], auf dem es stochastisch unabhängige Standard-normalverteilte Zufallsgrößen [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm] gibt.
Ist das bekannt?
Hier braucht man ein Produktmaß zur Konstruktion eines solchen Wahrscheinlichkeitsraumes.
> Nun setzen wir
>
> [mm]Y':=X_1^2+\ldots+X_{n}^2[/mm]
>
> und
>
> [mm]Z':=X_{n+1}^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm].
>
> Dann sind [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch unabhängig
Hier benötigen wir einen Zusammenhang, der uns liefert, dass mit [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm] auch [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch unabhängig sind.
> und besitzen die Verteilungen [mm]\chi_{n}^2[/mm] bzw. [mm]\chi_m^2[/mm].
Das ist wahrscheinlich eine euch bekannte Charakterisierung der [mm]\chi^2[/mm]-Verteilungen.
> [mm]Y'+Z'=X_1^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm] besitzt die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm].
>
> Da die Verteilung einer Summe zweier stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen nur von den Verteilungen der beiden Zufallsgrößen abhängt,
Üblicherweise wird dieser Zusammenhang nicht explizit formuliert und bewiesen.
Zu seinem Beweis arbeitet man am einfachsten wieder mit einem Produktmaß.
> folgt, dass auch [mm]Y+Z[/mm] die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm] besitzt.
> Ich möchte dich noch etwas anderes fragen.
> Woher hast du dein enormes Mathematisches wissen? Vor
> allem in Wahrscheinlichkeitstheorie???
Danke für das Kompliment!
Ich habe eine einführende Stochastik-Vorlesung, Wahrscheinlichkeitstheorie I und II, sowie Statistik I gehört, die Vorlesungen gewissenhaft nachbereitet, Übungszettel gemacht, überall Klausuren mitgeschrieben und mich mündlich über diese Vorlesungen prüfen lassen.
Und ich habe auch ganz schön viel wieder vergessen... Aber, da ich meine, die Grundlagen ganz gut parat zu haben, kann ich bei Bedarf das eine oder andere (wie z.B. die genaue Definition eines (Halb-)Rringes oder auch die [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung) nachschlagen.
> Hast du irgendwelche Bücher zu empfehlen? Irgendwelche
> Skripten die es im internet gibt?
Leider kenne ich nur wenig Literatur, da ich mit den Skripten meines Professors (die allerdings nicht im Internet stehen) meist gut hinkam. Ich habe lieber diese Skripte ausführlich studiert, als zwischen verschiedenen Autoren hin und her zu springen.
Zur Stochastik (nicht zur Wahrscheinlichkeitstheorie) gefällt mir das Buch von Henze ("Stochastik für Einsteiger") sehr gut, da er nicht nur die mathematische Theorie, sondern auch die Bedeutung der Begriffe im Sachzusammenhang ausführlich darstellt.
Zur Maß- und Integrationstheorie ist das Buch von Bauer ("Maß- und Integrationstheorie") wohl das Standardwerk.
Sein Buch zur Wahrscheinlichkeitstheorie selbst ist hingegen nicht so mein Fall, da es mir zu sehr auf Spezialgebiete hinzielt, statt solide Grundlagen in den Vordergrund zu stellen.
Falls du mehr Literatur suchst, kannst du dafür ja mal eine eigene Frage eröffnen, die ich dann gerne als Umfrage deklariere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 28.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > was wäre wenn ich diesen Satz einfach Additionssatz
> > nenne?
> Ich habe jetzt
> dies hier
> gefunden.
> Also scheint der Name "Reproduktivität der
> [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung(en)" verwendet zu werden.
>
>
> > Der Beweis ist - finde ich - sehr übersichtlich und
> > einfach zu verstehen. Aber wie du schreibst nur eine
> > Skizze. Wäre da noch etwas genauer auszuführen oder
> kann
> > ich mit deinem Beweis den "Additionssatz" als bewiesen
> > sehen?
> Wenn dir alle Schritte klar sind, kannst du den
> Zusammenhang als bewiesen ansehen.
> Ich wusste halt nicht, was ich als bekannt voraussetzen
> darf.
>
> Gehen wir ihn nochmal durch:
>
>
> > Es existiert ein anderer Wahrscheinlichkeitsraum als der
> von [mm]Y[/mm] und [mm]Z[/mm], auf dem es stochastisch unabhängige
> Standard-normalverteilte Zufallsgrößen [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm]
> gibt.
> Ist das bekannt?
> Hier braucht man ein Produktmaß zur Konstruktion eines
> solchen Wahrscheinlichkeitsraumes.
Produktmaß haben wir noch nicht gehabt. Die Definition auf Wikipedia verstehe ich auch ned :-(.
Aber trotzdem verstehe ich diesen Satz. Der besagt ja lediglich, dass es einen anderen W-Raum gibt und in diesem andreren W-Raum sind stochastisch unabhängige standartnormal Verteilte zufallsgrößen. Also kann ich induktiv davon ausgehen, dass diese disjunkt sind. Oder???
>
> > Nun setzen wir
> >
> > [mm]Y':=X_1^2+\ldots+X_{n}^2[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]Z':=X_{n+1}^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm].
> >
> > Dann sind [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch unabhängig
> Hier benötigen wir einen Zusammenhang, der uns liefert,
> dass mit [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm] auch [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch
> unabhängig sind.
Z' und Y' sind doch stochastisch unabhängig. Da ja die Zufallsgrößen von Z' und Y' disjunkt sind. Oder????
>
> > und besitzen die Verteilungen [mm]\chi_{n}^2[/mm] bzw. [mm]\chi_m^2[/mm].
> Das ist wahrscheinlich eine euch bekannte
> Charakterisierung der [mm]\chi^2[/mm]-Verteilungen.
ja
>
> > [mm]Y'+Z'=X_1^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm] besitzt die Verteilung
> [mm]\chi_{n+m}^2[/mm].
> >
> > Da die Verteilung einer Summe zweier stochastisch
> unabhängiger Zufallsgrößen nur von den Verteilungen der
> beiden Zufallsgrößen abhängt,
> Üblicherweise wird dieser Zusammenhang nicht explizit
> formuliert und bewiesen.
> Zu seinem Beweis arbeitet man am einfachsten wieder mit
> einem Produktmaß.
>
> > folgt, dass auch [mm]Y+Z[/mm] die Verteilung [mm]\chi_{n+m}^2[/mm] besitzt.
>
>
> > Ich möchte dich noch etwas anderes fragen.
> > Woher hast du dein enormes Mathematisches wissen? Vor
> > allem in Wahrscheinlichkeitstheorie???
> Danke für das Kompliment!
>
> Ich habe eine einführende Stochastik-Vorlesung,
> Wahrscheinlichkeitstheorie I und II, sowie Statistik I
> gehört, die Vorlesungen gewissenhaft nachbereitet,
> Übungszettel gemacht, überall Klausuren mitgeschrieben
> und mich mündlich über diese Vorlesungen prüfen lassen.
>
> Und ich habe auch ganz schön viel wieder vergessen...
> Aber, da ich meine, die Grundlagen ganz gut parat zu haben,
> kann ich bei Bedarf das eine oder andere (wie z.B. die
> genaue Definition eines (Halb-)Rringes oder auch die
> [mm]\chi^2[/mm]-Verteilung) nachschlagen.
>
>
> > Hast du irgendwelche Bücher zu empfehlen? Irgendwelche
> > Skripten die es im internet gibt?
> Leider kenne ich nur wenig Literatur, da ich mit den
> Skripten meines Professors (die allerdings nicht im
> Internet stehen) meist gut hinkam. Ich habe lieber diese
> Skripte ausführlich studiert, als zwischen verschiedenen
> Autoren hin und her zu springen.
>
> Zur Stochastik (nicht zur Wahrscheinlichkeitstheorie)
> gefällt mir das Buch von Henze ("Stochastik für
> Einsteiger") sehr gut, da er nicht nur die mathematische
> Theorie, sondern auch die Bedeutung der Begriffe im
> Sachzusammenhang ausführlich darstellt.
>
> Zur Maß- und Integrationstheorie ist das Buch von Bauer
> ("Maß- und Integrationstheorie") wohl das Standardwerk.
> Sein Buch zur Wahrscheinlichkeitstheorie selbst ist
> hingegen nicht so mein Fall, da es mir zu sehr auf
> Spezialgebiete hinzielt, statt solide Grundlagen in den
> Vordergrund zu stellen.
>
> Falls du mehr Literatur suchst, kannst du dafür ja mal
> eine eigene Frage eröffnen, die ich dann gerne als Umfrage
> deklariere.
Nur nochmal kurz zu vorlesungen usw.:
Ich gehe nicht in Vorlesungen. Ich mache alle übungen selbst. Ich bekomme regelmäßig die Vorlesungsmitschriften von Komillitonen. Tippe alles in LaTex ab und versuche mir alles selbst anzueignen.
Wenn mir jemand etwas mündlich erklärt verstehe ich es einfach nicht. Ich kann mündlichen erklärungen nicht folgen :-(. Nach fünf minuten ist bei mir ende Gelände! Ich verstehe nur etwas, wenn ich explizit nachfragen kann an Stellen wo Fragen entstehen. Deshalb bin ich auch bei "matheraum.de" :-D.
schlimm???
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Wenn dir alle Schritte klar sind, kannst du den
> > Zusammenhang als bewiesen ansehen.
> > Ich wusste halt nicht, was ich als bekannt voraussetzen
> > darf.
> >
> > Gehen wir ihn nochmal durch:
> >
> >
> > > Es existiert ein anderer Wahrscheinlichkeitsraum als der
> > von [mm]Y[/mm] und [mm]Z[/mm], auf dem es stochastisch unabhängige
> > Standard-normalverteilte Zufallsgrößen [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm]
> > gibt.
> > Ist das bekannt?
> > Hier braucht man ein Produktmaß zur Konstruktion eines
> > solchen Wahrscheinlichkeitsraumes.
> Produktmaß haben wir noch nicht gehabt. Die Definition
> auf Wikipedia verstehe ich auch ned :-(.
> Aber trotzdem verstehe ich diesen Satz. Der besagt ja
> lediglich, dass es einen anderen W-Raum gibt und in diesem
> andreren W-Raum sind stochastisch unabhängige
> standartnormal Verteilte zufallsgrößen.
Ich finde es auch völlig ok, wenn du dies erst einmal als Tatsache hinnimmst, auch wenn wir sie nicht bewiesen haben.
> Also kann ich
> induktiv davon ausgehen, dass diese disjunkt sind. Oder???
Zwei Mengen können disjunkt sein, aber nicht zwei Zufallsgrößen.
(Zufallsgrößen sind ja Abbildungen, nicht Mengen.)
> > > Nun setzen wir
> > >
> > > [mm]Y':=X_1^2+\ldots+X_{n}^2[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]Z':=X_{n+1}^2+\ldots+X_{n+m}^2[/mm].
> > >
> > > Dann sind [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch unabhängig
> > Hier benötigen wir einen Zusammenhang, der uns
> liefert,
> > dass mit [mm]X_1,\ldots,X_{n+m}[/mm] auch [mm]Y'[/mm] und [mm]Z'[/mm] stochastisch
> > unabhängig sind.
>
>
> Z' und Y' sind doch stochastisch unabhängig. Da ja die
> Zufallsgrößen von Z' und Y' disjunkt sind. Oder????
Siehe oben: Zufallsgrößen können gar nicht disjunkt oder nicht disjunkt sein.
Der Zusammenhang, den ich meinte, ist folgender ("abschnittsweise Verarbeitung stochastisch Unabhängiger Zufallsgrößen"):
Seien [mm]X_{11},\ldots,X_{1n_1},X_{21},\ldots X_{2n_2},\ldots,X_{k1},\ldots,X_{kn_k}[/mm] stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit Werten in [mm]\IR[/mm].
Sei für [mm]j=1,\ldots,k[/mm] jeweils eine bezüglich der Borelschen Sigma-Algebren messbare Abbildung [mm]g_j\colon\IR^{n_j}\to\IR[/mm] gegeben.
Sei [mm]Y_j:=g_j\circ(X_{j1},\ldots,X_{jn_j})[/mm] für jedes [mm]j=1,\ldots,k[/mm].
Dann sind [mm]Y_1,\ldots,Y_k[/mm] stochastisch unabhängige Zufallsgrößen.
Dies angewendet auf [mm]k=2[/mm], [mm]n_1=n[/mm], [mm]n_2=m[/mm], [mm]X_{1i}=X_i[/mm] für [mm]i=1,\ldots,n[/mm], [mm]X_{2i}=X_{n+i}[/mm] für [mm]i=1,\ldots,m[/mm] und [mm]g_1(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2[/mm] und [mm]g_2(x_1,\ldots,x_m)=x_1^2+\ldots+x_m^2[/mm] liefert dann die stochastische Unabhängigkeit von [mm]Y=Y_1=g_1\circ(X_1,\ldots,X_n)[/mm] und [mm]Z=Y_2=g_2\circ(X_{n+1},\ldots,X_{n+m})[/mm].
(Die Borelsche Sigma-Algebra auf [mm]\IR^n[/mm] kennt ihr aber, oder?)
> Nur nochmal kurz zu vorlesungen usw.:
>
> Ich gehe nicht in Vorlesungen. Ich mache alle übungen
> selbst. Ich bekomme regelmäßig die Vorlesungsmitschriften
> von Komillitonen. Tippe alles in LaTex ab und versuche mir
> alles selbst anzueignen.
>
> Wenn mir jemand etwas mündlich erklärt verstehe ich es
> einfach nicht. Ich kann mündlichen erklärungen nicht
> folgen :-(. Nach fünf minuten ist bei mir ende Gelände!
> Ich verstehe nur etwas, wenn ich explizit nachfragen kann
> an Stellen wo Fragen entstehen. Deshalb bin ich auch bei
> "matheraum.de" :-D.
>
> schlimm???
Vorlesungen nicht folgen können und sie daher nicht zu besuchen finde ich nicht problematisch, solange du den schriftlichen Aufzeichnungen folgen kannst.
Bist du zügig im Latex-tippen? Ich würde für das Abtippen in Latex zu viel Zeit brauchen, die mir zum Verständnis der Inhalte fehlen würde.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Di 29.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
DANKE DANKE Tobi.
Ich bin in LaTex relativ schnell beim tippen. Deshalb funktioniert das schon ganz gut. :-D
Die Borelsche Sigma-Algebra kenne ich. Ja.
Ich werde dies jetzt erstmal so ruhen lassen und evtl. morgen nochmals nachhacken, sollte ich etwas nicht verstehen.
VIELEN VIELEN DANK für deine Hilfe :-D
Grüße
Ali
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Die Borelsche Sigma-Algebra kenne ich. Ja.
Auch die auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] oder nur die auf [mm] $\IR$?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Mi 30.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ich mache gleich ein neues Forum auf. Da klärt sich das ganze :-D
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