Additionstheorem mittels Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Do 21.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass cos(x) - cos(y) = [mm] (-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2}) \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt. |
Hallo,
gefordert ist, dass der Beweis mithilfe der Reihen von Sinus und Kosinus erfolgen soll, also wohl unter Zuhilfenahme des Cauchy-Produkts.
Und ja - ich weiß, dass es einfachere Wege gibt, den Beweis zu erbringen und möchte mich dennoch hier versuchen 
Also:
[mm] (-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
= [mm] (-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
= [mm] (-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}
[/mm]
= [mm] (-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}
[/mm]
die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also leider noch.
Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
[mm] \ldots [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
= cos(x) - cos(y)
Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Zeigen Sie, dass cos(x) - cos(y) =
> [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2}) \forall[/mm] x, y
> [mm]\in \IR[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> gefordert ist, dass der Beweis mithilfe der Reihen von
> Sinus und Kosinus erfolgen soll, also wohl unter
> Zuhilfenahme des Cauchy-Produkts.
> Und ja - ich weiß, dass es einfachere Wege gibt, den
> Beweis zu erbringen und möchte mich dennoch hier versuchen
>
> Also:
> [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> =
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> =
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> = [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
> die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> leider noch.
> Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
> [mm]\ldots[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> = cos(x) - cos(y)
>
> Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
>
Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
Potenzen der Summe bzw. Differenz in der zweiten
Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
ausmultipliziert und dann nach Potenzen geordnet werden.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 21.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo nochmals,
> > Also:
> > [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > =
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > =
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > = [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
>
> Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
>
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven drüberschauen nicht, wieso aus [mm] (\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1} [/mm] eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile [mm] (\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1} [/mm] wird...?
> > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > leider noch.
> > Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
> > [mm]\ldots[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > = cos(x) - cos(y)
> >
> > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> >
>
> Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> Potenzen der Summe bzw. Differenz in der zweiten
> Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
> ausmultipliziert und dann nach Potenzen geordnet werden.
>
Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})
[/mm]
mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
,aber so richtig sehe ich auch hier nicht, dass mich das dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut fest.
Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten auflösen um (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt dankbar.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Hallo nochmals,
>
> > > Also:
> > > [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > > =
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > =
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > > =
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> >
> > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
> >
> Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven
> drüberschauen nicht, wieso aus [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
> eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile
> [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1}[/mm] wird...?
>
Der Exponent der zweiten Klammer lautet doch:
[mm]2*n-\left(2*k+1\right)=2*n-2*k-1[/mm]
> > > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > > leider noch.
> > > Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
> > > [mm]\ldots[/mm] =
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > = cos(x) - cos(y)
> > >
> > > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> > >
> >
> > Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> > Potenzen der Summe bzw. Differenz in der zweiten
> > Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
> > ausmultipliziert und dann nach Potenzen geordnet
> werden.
> >
> Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})[/mm]
>
> mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
> ,aber so richtig sehe ich auch hier nicht, dass mich das
> dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut
> fest.
> Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten auflösen um
> (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
> Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt dankbar.
>
Bestimme die Summe
[mm]\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}[/mm]
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 21.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Hallo ms2008de,
>
> > Hallo nochmals,
> >
> > > > Also:
> > > > [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > > > =
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > > =
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > > > =
> > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> > >
> > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
> >
> > >
> > Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven
> > drüberschauen nicht, wieso aus [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
> > eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile
> > [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1}[/mm] wird...?
> >
>
>
> Der Exponent der zweiten Klammer lautet doch:
>
> [mm]2*n-\left(2*k+1\right)=2*n-2*k-1[/mm]
>
Warum? Ich ersetze doch aus dem ursprünglichen Exponenten 2n+1 das n durch n-k, dann steht doch da:
2(n-k) +1 = 2n-2k+1
Wieso wird daraus nun plötzlich 2n -(2k+1) = 2n -2k -1
>
> > > > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > > > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > > > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > > > leider noch.
> > > > Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
> > > > [mm]\ldots[/mm] =
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > =
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > = cos(x) - cos(y)
> > > >
> > > > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> > > >
> > >
> > > Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> > > Potenzen der Summe bzw. Differenz in der zweiten
> > > Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
> > > ausmultipliziert und dann nach Potenzen geordnet
> > werden.
> > >
> > Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})[/mm]
>
> >
> > mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
> > ,aber so richtig sehe ich auch hier nicht, dass mich
> das
> > dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut
> > fest.
> > Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten auflösen um
> > (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
> > Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt dankbar.
> >
>
>
> Bestimme die Summe
>
> [mm]\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}[/mm]
>
>
Das ist offensichtlich aufgrund des Binomischen Lehrsatzes [mm] 2^{2n}.
[/mm]
Multiplizier ich das hier aber aus, dann komm ich genau wieder zurück zu [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!} [/mm] und bin damit dann leider keinen Schritt weiter gekommen?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Hallo,
> > Hallo ms2008de,
> >
> > > Hallo nochmals,
> > >
> > > > > Also:
> > > > > [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > > > > =
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > > > =
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > > > > =
> > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> > > >
> > > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven
> > > drüberschauen nicht, wieso aus [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
> > > eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile
> > > [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1}[/mm] wird...?
> > >
> >
> >
> > Der Exponent der zweiten Klammer lautet doch:
> >
> > [mm]2*n-\left(2*k+1\right)=2*n-2*k-1[/mm]
> >
> Warum? Ich ersetze doch aus dem ursprünglichen Exponenten
> 2n+1 das n durch n-k, dann steht doch da:
> 2(n-k) +1 = 2n-2k+1
> Wieso wird daraus nun plötzlich 2n -(2k+1) = 2n -2k -1
Nach dem binomischen Lehrsatz müssen die Exponenten
der zwei Ausdrücke zusammen 2n ergeben. Da der erste
Exponent 2k+1 ist, bleibt für den zweiten Exponenten
[mm]2n-\left(2k+1\right)=2n-2k-1[/mm]
> >
> > > > > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > > > > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > > > > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > > > > leider noch.
> > > > > Dieser Term soll irgendwann dann so aussehen:
> > > > > [mm]\ldots[/mm] =
> > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > =
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > = cos(x) - cos(y)
> > > > >
> > > > > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> > > > >
> > > >
> > > > Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> > > > Potenzen der Summe bzw. Differenz in der zweiten
> > > > Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
> > > > ausmultipliziert und dann nach Potenzen geordnet
> > > werden.
> > > >
> > > Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
> > >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > =
> > >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})[/mm]
>
> >
> > >
> > > mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
> > > ,aber so richtig sehe ich auch hier nicht, dass mich
> > das
> > > dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut
> > > fest.
> > > Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten auflösen
> um
> > > (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
> > > Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt dankbar.
> > >
> >
> >
> > Bestimme die Summe
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}[/mm]
> >
> >
> Das ist offensichtlich aufgrund des Binomischen Lehrsatzes
> [mm]2^{2n}.[/mm]
> Multiplizier ich das hier aber aus, dann komm ich genau
> wieder zurück zu
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> und bin damit dann leider keinen Schritt weiter gekommen?
>
Schreibe die erhaltene Reihe in zwei getrennte Reihen.
Die eine von x abhängig, die zweite von y.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 21.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Hallo ms2008de,
>
> > Hallo,
> > > Hallo ms2008de,
> > >
> > > > Hallo nochmals,
> > > >
> > > > > > Also:
> > > > > >
> [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > > > > > =
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > > > > =
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > > > > > =
> > > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> > > > >
> > > > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven
> > > > drüberschauen nicht, wieso aus [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
> > > > eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile
> > > > [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1}[/mm] wird...?
> > > >
> > >
> > >
> > > Der Exponent der zweiten Klammer lautet doch:
> > >
> > > [mm]2*n-\left(2*k+1\right)=2*n-2*k-1[/mm]
> > >
> > Warum? Ich ersetze doch aus dem ursprünglichen Exponenten
> > 2n+1 das n durch n-k, dann steht doch da:
> > 2(n-k) +1 = 2n-2k+1
> > Wieso wird daraus nun plötzlich 2n -(2k+1) = 2n -2k
> -1
>
>
> Nach dem binomischen Lehrsatz müssen die Exponenten
> der zwei Ausdrücke zusammen 2n ergeben. Da der erste
> Exponent 2k+1 ist, bleibt für den zweiten Exponenten
>
Ich steh heut wohl leider auf nem ziemlich dicken Schlauch. Wieso müssen die Exponenten zusammenaddiert 2n ergeben und nicht, wovon ich ausgegangen bin, 2n+2? Zumal wenn die Exponenten zusammen 2n ergeben, doch der Binomialkoeffizient lauten müsste [mm] \vektor{2n \\ 2k+1} [/mm] für den Binomischen Lehrsatz und nicht wie ich dachte [mm] \vektor{2n+2 \\ 2k+1}???
[/mm]
> [mm]2n-\left(2k+1\right)=2n-2k-1[/mm]
>
>
> > >
> > > > > > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > > > > > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > > > > > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > > > > > leider noch.
> > > > > > Dieser Term soll irgendwann dann so
> aussehen:
> > > > > > [mm]\ldots[/mm] =
> > > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > > =
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > > = cos(x) - cos(y)
> > > > > >
> > > > > > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> > > > > Potenzen der Summe bzw. Differenz in der
> zweiten
> > > > > Summe ebenfalls nach dem binomischen Lehrsatz
> > > > > ausmultipliziert und dann nach Potenzen
> geordnet
> > > > werden.
> > > > >
> > > > Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
> > > >
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > =
> > > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
> > > > ,aber so richtig sehe ich auch hier nicht, dass
> mich
> > > das
> > > > dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut
> > > > fest.
> > > > Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten
> auflösen
> > um
> > > > (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
> > > > Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt
> dankbar.
> > > >
> > >
> > >
> > > Bestimme die Summe
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}[/mm]
> > >
> > >
> > Das ist offensichtlich aufgrund des Binomischen Lehrsatzes
> > [mm]2^{2n}.[/mm]
> > Multiplizier ich das hier aber aus, dann komm ich genau
> > wieder zurück zu
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > und bin damit dann leider keinen Schritt weiter gekommen?
> >
>
>
> Schreibe die erhaltene Reihe in zwei getrennte Reihen.
> Die eine von x abhängig, die zweite von y.
>
Auch hier frage ich mich, was das bringen soll, denn wenn ichs tue, dann komme ich noch weiter zurück zu [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!} [/mm] = cos(x)- cos(y) und eigentlich will ich ja von dort kommend zu ...= [mm] (-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo ms2008de,
> Hallo,
> > Hallo ms2008de,
> >
> > > Hallo,
> > > > Hallo ms2008de,
> > > >
> > > > > Hallo nochmals,
> > > > >
> > > > > > > Also:
> > > > > > >
> > [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> > > > > > > =
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > > > > > =
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\bruch{(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!}(-1)^{n-k}\bruch{(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}[/mm]
> > > > > > > =
> > > > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Da hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
> > > > > >
> > > > > > [mm](-2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+2)!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{2n+2 \\ 2k+1}(\bruch{x+y}{2})^{2k+1}(\bruch{x-y}{2})^{2n-2k\blue{-}1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > Warum? Ich seh leider auch nach mehrfachem intensiven
> > > > > drüberschauen nicht, wieso aus [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k+1}[/mm]
> > > > > eine Zeile darüber urplötzlich in der nächsten Zeile
> > > > > [mm](\bruch{x-y}{2})^{2n-2k-1}[/mm] wird...?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Der Exponent der zweiten Klammer lautet doch:
> > > >
> > > > [mm]2*n-\left(2*k+1\right)=2*n-2*k-1[/mm]
> > > >
> > > Warum? Ich ersetze doch aus dem ursprünglichen Exponenten
> > > 2n+1 das n durch n-k, dann steht doch da:
> > > 2(n-k) +1 = 2n-2k+1
> > > Wieso wird daraus nun plötzlich 2n -(2k+1) = 2n -2k
> > -1
> >
> >
> > Nach dem binomischen Lehrsatz müssen die Exponenten
> > der zwei Ausdrücke zusammen 2n ergeben. Da der erste
> > Exponent 2k+1 ist, bleibt für den zweiten Exponenten
> >
> Ich steh heut wohl leider auf nem ziemlich dicken Schlauch.
> Wieso müssen die Exponenten zusammenaddiert 2n ergeben und
> nicht, wovon ich ausgegangen bin, 2n+2? Zumal wenn die
> Exponenten zusammen 2n ergeben, doch der
> Binomialkoeffizient lauten müsste [mm]\vektor{2n \\ 2k+1}[/mm] für
> den Binomischen Lehrsatz und nicht wie ich dachte
> [mm]\vektor{2n+2 \\ 2k+1}???[/mm]
Wenn n von 0 an läuft ist das auch richtig.
Läuft aber n von 1 an, dann muss die Summe
der Exponenten 2n sein.
> > [mm]2n-\left(2k+1\right)=2n-2k-1[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > > > > > die innere Summe sieht dem Binomischen Lehrsatz zwar sehr
> > > > > > > ähnlich, doch läuft das Ganze hier ja nur über ungerade
> > > > > > > Zahlen der Formm 2k+1 - an der Stelle hänge ich also
> > > > > > > leider noch.
> > > > > > > Dieser Term soll irgendwann dann so
> > aussehen:
> > > > > > > [mm]\ldots[/mm] =
> > > > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > > > =
> > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] -
> > > > > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > > > = cos(x) - cos(y)
> > > > > > >
> > > > > > > Wäre euch für jeden Ansatz dankbar.
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Um zu diesem Ausdruck zu kommen, müssen die
> > > > > > Potenzen der Summe bzw. Differenz in der
> > zweiten
> > > > > > Summe ebenfalls nach dem binomischen
> Lehrsatz
> > > > > > ausmultipliziert und dann nach Potenzen
> > geordnet
> > > > > werden.
> > > > > >
> > > > > Okay, ich habe nun da folgendermaßen weitergemacht:
> > > > >
> > > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > > > =
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}*(\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}*((\bruch{x}{2})^{2n}-(\bruch{y}{2})^{2n})[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > mittels Anwendung des Binomischen Lehrsatzes
> > > > > ,aber so richtig sehe ich auch hier nicht,
> dass
> > mich
> > > > das
> > > > > dem Ziel näher bringen soll? Hier häng ich leider erneut
> > > > > fest.
> > > > > Ich könnte nun den Binomialkoeffizienten
> > auflösen
> > > um
> > > > > (2n)! rauszukürzen, aber was bringt mir das?
> > > > > Wäre euch für jeden weiteren Ansatzpunkt
> > dankbar.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Bestimme die Summe
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > Das ist offensichtlich aufgrund des Binomischen Lehrsatzes
> > > [mm]2^{2n}.[/mm]
> > > Multiplizier ich das hier aber aus, dann komm ich
> genau
> > > wieder zurück zu
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}-y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > > und bin damit dann leider keinen Schritt weiter gekommen?
> > >
> >
> >
> > Schreibe die erhaltene Reihe in zwei getrennte Reihen.
> > Die eine von x abhängig, die zweite von y.
> >
> Auch hier frage ich mich, was das bringen soll, denn wenn
> ichs tue, dann komme ich noch weiter zurück zu
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> = cos(x)- cos(y) und eigentlich will ich ja von dort
> kommend zu ...=
> [mm](-2)*sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
Nein, das hast Du doch schon ausgerechnet.
Ziel ist doch [mm]\cos\left(x\right)-\cos\left(y\right)[/mm] zu erhalten.
> Viele Grüße
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
