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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 15.05.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Berechnen Sie allein mit den aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften des Sinus, Kosinus und [mm] sin(\bruch{\pi}{12})=\bruch{1}{2}\wurzel{2-\wurzel{3}} [/mm] die exakten Werte von [mm] sin(\bruch{\pi}{24}) [/mm] , [mm] cos(\bruch{\pi}{24}) [/mm] und [mm] tan(\bruch{\pi}{24}).
[/mm]
Dabei ist bei den unterschiedlichen Möglichkeiten etwa in der p-q-Formel usw. die getroffene Auswahl zu begründen; eine Argumentation wie "...laut Taschenrechner..." ist dabei natürlich NICHT legitim. |
Wir dürfen nur folgende Informationen für die Berechnung verwenden:
sin(x [mm] \pm [/mm] y)=sin(x)cos(y) [mm] \pm [/mm] sin(y)cos(x)
cos(x [mm] \pm [/mm] y)=cos(x)cos(y) [mm] \mp [/mm] sin(x)sin(y)
sin(-x)=-sin(x)
cos(-x)=cos(x)
[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1
[/mm]
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
[mm] sin(x+\bruch{\pi}{2})=cos(x)
[/mm]
[mm] cos(x+\bruch{\pi}{2})=-sin(x)
[/mm]
[mm] sin(x+k*2\pi)=sin(x)
[/mm]
[mm] cos(x+k*2\pi)=cos(x)
[/mm]
und natürlich die Information aus der Aufgabenstellung.
Ich habe jetzt angefangen indem ich gesagt habe:
[mm] sin(\bruch{\pi}{24})=sin(\bruch{\pi}{12}-\bruch{\pi}{24}) [/mm] dann kann ich nämlich die in der Aufgabenstellung genannte Information verwenden. Dann habe ich da stehen:
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2-\wurzel{3}}cos(\bruch{\pi}{24})-sin(\bruch{\pi}{24})cos(\bruch{\pi}{12})
[/mm]
Wie muss ich nun weitermachen? Und warum erwähnt mein Professor die p-q-Formel in der Aufgabenstellung? Was hat die damit denn zu tun?
Dank im Voraus
Bquadrat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 15.05.2013 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] sin(\bruch{\pi}{12})=sin(\bruch{\pi}{24}+\bruch{\pi}{24}) =2sin(\bruch{\pi}{24})*cos(\bruch{\pi}{24})$
[/mm]
Wir setzen [mm] x:=sin(\bruch{\pi}{24}) [/mm] und a:= [mm] sin(\bruch{\pi}{12})
[/mm]
Dann aben wir:
[mm] a^2=4x^2*cos^2(\bruch{\pi}{24})=4x^2(1-x^2)=4x^2-4x^4=4u-4u^2,
[/mm]
mit [mm] u:=x^2
[/mm]
Für u hast Du also die quadratische Gl:
[mm] a^2=4u-4u^2.
[/mm]
So kommt die pq-Formel durch die Hintertür.
FRED
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