Adjungierte Abbildungen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Mi 25.04.2007 | | Autor: | TottiIII |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und b: V [mm] \times [/mm] V > K eine symmetrische nicht ausgeartete Bilinearform auf V. Man zeige:
1. Für jeden Endomorphismus f: V>V sind die Abbildungen V x V > K, (v,w) > b(v,f(w)) und V x V > K, (v,w) > b(f(v),w) Bilinearformen auf V.
2. ZU jeder Bilinearform d auf V gibt es genau einen Endomorphismus f: V >V, so dass für alle v,w V gilt d(v,w) = b(v,f(w)).
3. ZU jedem Endomorphismus f: V > V gibt es genau einen Endomorphismus g : V > V, so dass für alle v,w V gilt b(f(v),w) = b(v,g(w)). |
Hollo zusammen,
ich komme bei der obrigen Aufgabe nicht weiter. D.h. bei 1 muß man glaube ich die Axiome nachrechnen, aber bei 2 und 3 fehlt mir der Durchblick. Wär cool, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
TottiIII
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 25.04.2007 | | Autor: | TottiIII |
Hallo, kann mir bitte Jemand helfen. Ich komm hier echt nicht weiter.
Brauch bloß nen Ansatz. Das wär schon ne riesen Hilfe.
TottiIII
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo Leute, kann jemand uns helfen.Ich hab dasselbe Problem, brauch nur ne Ansatz , um anzufangen.
Gruß V.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:07 Mi 25.04.2007 | | Autor: | artic3000 |
Hallo,
also ich kann euch zumindest bei Aufgabe 1 helfen. Wie du scho gesagt hast muss man da nur die Axiome nachrechnen.
Dafür würde ich die neue Abbildung mit T bezeichenen, so dass gilt T(v,w) = b(v,f(w))
Die Abbildung T ist selbst eine Bilinearform, da sie die Axiome auch erfüllt dafür musst du nur die Eigenschafzten des Homomorphismus verwenden, sowie die Eigenschaften der Bilinearform b.
So ist z.B.
T(v,aw)=b(v,f(aw))=b(v,a*f(w))=a*b(v,f(w))=a*T(v,w)
oder auch
T(v,w+r)=b(v,f(w+r))=b(v,f(w)+f(r))=b(v,f(w)) + b(v,f(r))=T(v,w)+T(v,r)
Aufgabe 2 und 3 ist mir bis jetzt noch nix eingefallen, aber wenn, dann melde ich mich 
Viel Erfolg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 25.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und
> b: V [mm]\times[/mm] V > K eine symmetrische nicht ausgeartete
> Bilinearform auf V. Man zeige:
>
> 1. Für jeden Endomorphismus f: V>V sind die Abbildungen V x
> V > K, (v,w) > b(v,f(w)) und V x V > K, (v,w) > b(f(v),w)
> Bilinearformen auf V.
>
> 2. ZU jeder Bilinearform d auf V gibt es genau einen
> Endomorphismus f: V >V, so dass für alle v,w V gilt
> d(v,w) = b(v,f(w)).
>
> 3. ZU jedem Endomorphismus f: V > V gibt es genau einen
> Endomorphismus g : V > V, so dass für alle v,w V gilt
> b(f(v),w) = b(v,g(w)).
Also 3. folgt direkt mit 1. und 2.: Nach 1. ist $d(v, w) := b(f(v), w)$ eine Bilinearform, und mit 2. folgt Existenz und Eindeutigkeit von g.
Zu 2.: Nehmen wir mal an, dass $V = [mm] K^n$ [/mm] ist. (Ansonsten muss man Basis waehlen etc.)
Wenn $A$ die Matrix ist, die $d$ darstellt, und $B$ die Matrix ist, die $b$ darstellt: also gilt $d(v, w) = [mm] v^T [/mm] A w$ und $b(v, w) = [mm] v^T [/mm] B w$. Insbesondere ist [mm] $d(e_i, e_j) [/mm] = [mm] a_{ij}$ [/mm] und [mm] $b(e_i, e_j) [/mm] = [mm] b_{ij}$, [/mm] wenn [mm] $e_1, \dots, e_n$ [/mm] die Standardeinheitsvektoren sind.
Sei $C$ die Matrix, die $f$ darstellt (die ist gesucht).
Nun ist [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] d(e_i, e_j) [/mm] = [mm] b(e_i, g(e_j)) [/mm] = [mm] e_i^T [/mm] B C [mm] e_j$, [/mm] also das Produkt aus $i$-ter Zeile von $B$ und der $j$-ten Spalte von $C$.
Du musst nun zeigen, dass aus diesen Gleichungen (fuer alle $i, j$) folgt, dass $C$ existiert und eindeutig bestimmt ist. Dazu wiederum musst du benutzen, dass $b$ nicht degeneriert ist. (Zeige damit, dass $B$ invertierbar ist, und benutze das passend Stelle.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Erstmal vielen vielen Dank.Ich war total verzweifelt.
Ich hab aber noch ne Frage:Mit deiner Hilfe hab ich gezeigt, dass B invertierbar ist ,und dass es gilt A= B*C
Aber wie kann ich damit die Existenz und Eindeutigkeit von C zeigen.
Und auch wenn, wie muss ich zeigen, dass aus der Eindeutigkeit von C die Eindeutigkeit von g folgt?Dass dies andersrum gilt ist mir schon klar
|
|
|
| |
|
Hallo verkackt,
also, wenn gilt [mm] $A=B\cdot{}C$ [/mm] und $B$ invertierbar ist (siehe dazu übrigens Satz 2.4.1.2 im Skript)  , dann kannst du doch diesae Gleichung auf beiden Seiten von links mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] multiplizieren.
Dann hast du [mm] $B^{-1}A=B^{-1}BC=C$
[/mm]
Somit hast du eine Definition für die Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. der Standardbasis [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
Diese Definition ist wohldefiniert, wie du oben gezeigt hast, außerdem bestimmt die Darstellungsmatrix den Endo $f$ bzgl. der gewählten Basis eindeutig (und umgekehrt), also hast du die Existenz (und eigentlich auch schon die Eind.) von $f$
Das kannste ja noch "schön" aufschreiben:
Sei [mm] $v\in [/mm] V$ mit Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] wie oben, [mm] $v=\sum_ix_ie_i$
[/mm]
Dann [mm] $f:V\rightarrow [/mm] V: [mm] v\mapsto (B^{-1}A)x$ [/mm] wobei $x$ der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist
Dann gilt: [mm] $d(v,w)=x^TAy=x^T(BC)y^T=x^TB(B^{-1}A)y^T=b(v,f(w))$
[/mm]
wobei $y$ der Koordinatenvektor von $w$ bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist.
Die Eindeutigkeit kannst du leicht auch explizit zeigen,
Seien [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] Endos mit [mm] d(v,w)=b(v,f_1(w))=b(v,f_2(w))
[/mm]
[mm] $\Rightarrow b(v,f_1(w))-b(v,f_2(w))=0\Rightarrow b(v,f_1(w)-f_2(w))=0\Rightarrow b(v,(f_1-f_2)(w))=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f_1-f_2=0$ [/mm] da b nicht ausgeartet ist
[mm] \Rightarrow f_1=f_2
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Ich kann nur dazu sagen: danke danke danke.Hab endlich alle Zusammenhänge verstanden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 26.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo Leute,
Erstmal vielen Dank für eure Antwort.Hab aber etwas noch nicht verstanden,und zwar: Warum kann man hier
> Nun ist [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],
einfach die Matrix C rausziehen?????
Gruß V.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Fr 27.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Erstmal vielen Dank für eure Antwort.Hab aber etwas noch
> nicht verstanden,und zwar: Warum kann man hier
>
> > Nun ist [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],
> einfach die Matrix C rausziehen?????
Haengt davon ab was du darunter verstehst. Im Endeffekt ist es das schon, aber das geht nicht ganz so einfach.
Hinweis: Die Gleichung [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] e_i^T [/mm] A [mm] e_j$ [/mm] hilft dir vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich $A = B C$ (weisst du warum?).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 27.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi Felix
> Hinweis: Die Gleichung [mm]a_{ij} = e_i^T A e_j[/mm] hilft dir
> vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich [mm]A = B C[/mm]
> (weisst du warum?).
Dazu muss ich sagen,dass ich mit Hilfe von
> [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],
und d( [mm] e_{i},e_{j})=e_i^T [/mm] A [mm] e_j
[/mm]
A=BC genommen habe, weiß aber nicht warum man
[mm] b(e_i, g(e_j))=e_i^T [/mm] BC [mm] e_j [/mm] schreiben kann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 27.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Hinweis: Die Gleichung [mm]a_{ij} = e_i^T A e_j[/mm] hilft dir
> > vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich [mm]A = B C[/mm]
> > (weisst du warum?).
> Dazu muss ich sagen,dass ich mit Hilfe von
> > [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],
> und d( [mm]e_{i},e_{j})=e_i^T[/mm] A [mm]e_j[/mm]
> A=BC genommen habe, weiß aber nicht warum man
> [mm]b(e_i, g(e_j))=e_i^T[/mm] BC [mm]e_j[/mm] schreiben kann
Es ist [mm] $g(e_j) [/mm] = C [mm] e_j$ [/mm] per Definition von $C$ (bzw. so willst du $g$ durch $C$ definieren), und es ist $b(v, w) = [mm] v^T [/mm] B w$ per Definition von $B$.
LG Felix
|
|
|
|
