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| Aufgabe | Sei A = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix} \in M_3_3(\IZ/6\IZ).
[/mm]
Berechnen Sie die Adjunkte von A und, falls dies möglich ist,[mm] A^{-1}[/mm]. |
Hallo,
habe mal eine Frage zu der Aufgabe. Haben die Aufgabe in einem Seminar gerechnet. Ich weiß auch wie man die Adjunkte berechnet. Diese lautet jedenfalls:
[mm] A^{Ad} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 4 \\
5 & 4 & 2 \\
4 & 3 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt habe ich eine Frage zur Berechnung des inversen von A. Die
Formel, die wir zur Berechnung der Inversen herangezogen haben und die aus dem Adjunktensatz gefolgert werden kann lautet:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{A^{Ad}}{(det A)}
[/mm]
Wir haben dann die Determinante von A berechnet, die gleich 5 ist und haben dann die Adjunkte mit 5 multipliziert. Das ergab dann die zu A inverse Matrix [mm] A^{-1}.
[/mm]
Jetzt meine Frage: Ich verstehe nicht, warum man die Adjunkte mit 5 (also mit der Determinante)multipliziert. Müßte man laut der Formel nicht eher durch 5 teilen?
vielen dank schon mal und viele grüße!
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Hallo Schlumpfinchen,
wenn in eurem Seminar die Matrix auch in Z/6Z war, dann ist es OK, denn 5*5 = 25 = 1 in Z/6Z, d.h. 5 ist zu sich selbst invers. Es kommt also auf den Ring an.
Hilft das?
Grüße, Steffen
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hallo,
danke für deine Antwort. Ich gaube ich habe das jetzt so einigermaßen verstanden, warum man mit 5 multiplizieren kann, bzw. warum 5 zu sich selbst invers ist in Z/6Z.
Mir ist allerdings immer noch nicht ganz klar, warum man laut der Formel die Adjunkte nicht einfach durch 5 teilen kann. Denn die Determinante der Matrix ist ja auch gleich 5. Ich sehe zwar, dass dann etwas anderes herauskommt, als wenn man mit 5 multipliziert. Aber laut der Formel müßte das doch eigentlich auch richtig sein, oder?!
Ich denke, dass ich irgendetwas noch nicht richtig verstanden habe?!
Gruß aus Bremen.
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Hallo Schlumpfinchen,
ich glaube, dass du es verstanden hast, bloß mit den Ringen noch nicht ganz klarkommst. Aus dem Adjunktensatz folgt doch:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)}*A_{Ad} [/mm] = [mm] (det(A))^{-1}*A_{Ad}.
[/mm]
für deinen Fall:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] (det(A))^{-1}*A_{Ad} [/mm] = [mm] (5)^{-1}*A_{Ad}.
[/mm]
Nun bist du in Z/6Z, d.h. [mm] (5)^{-1} [/mm] = 5 und deshalb die Multiplikation mit 5.
wärst du in [mm] \IR, [/mm] dann müsstest du die Adjunkte mit [mm] \bruch{1}{5} [/mm] multiplizieren bzw. durch 5 teilen, denn in [mm] \IR [/mm] ist das inverse Element zu 5 ja [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (denn 5 * [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = 1). Hier kommt also was unterschiedliches raus.
Grüße, Steffen
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