Affine Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo,
zu affiner abhängigkeit finde ich weder in meinen büchern info noch im netz.. kann mir jemand bitte anschaulich erklären was affine abhängigkeit ist und was man so beachten muss wenn man von "affin" redet?
ich hab nur gefunden, dass ein affiner raum ein raum ist, wo :
1) je 2 verschiedene punkte P und Q inzidieren mit genau einer geraden, die wir mit PQ bezeichnen
2) parallelenaxiom : es gibt eine äquivalenzrelation || auf der menge der geraden,.....
3)Dreiecksaxiom
wenn ich das richtig verstehe, sind affine räume räume wo wir "geometrisch" rechnen können, also die normalengeraden "haben", wo geraden parallel zu anderen geraden sein können usw.. ist das richtig?
und was muss man beachten wenn man von affinen räumen usw redet?
was ist affine abhängigkeit anschaulich?
und wie zeigt man sie?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das paßt eigentlich ganz gut zu unserem gestrigen Thema.
Wenn ich Dich richtig verstehe, geht es Dir darum, daß Du wissen möchtest, was die affinen Räume anschaulich sind.
Dazu erzähle ich jetzt ein bißchen was.
Gehen wir in den Anschauungsraum, den [mm] \IR^3 [/mm] - aber das, was ich erzähle, gilt im Prinzip für jeden Vektorraum.
Was sind die Unterräume des [mm] \IR^3? [/mm] Neben dem Raum selbst und dem winzigen Raum, welcher nur den Nullvektor enthält, haben wir ein- und zweidimensionale Unterräume, nämlich sämtliche Geraden durch den Ursprung und sämtliche Ebenen durch den Ursprung.
Ich betone nochmal, was ich auch gestern sagte: nur Ebenen und Geraden durch den Ursprung sind Vektorräume. (Mach Dir klar, warum das so ist.)
Ein affiner Raum ist jetzt anschaulich ein Punkt im Raum, an welchen ein Vektorraum "geheftet" wird.
Du kennst solche affinen Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] aus der Schule und wirst fleißig mit ihnen gerechnet haben: die Geraden und Ebenen im Raum - auch die, die nicht durch den Nullpunkt gehen.
Schauen wir uns mal eine Gerade an: g: [mm] \vec{x}=\underbrace{\vektor{4 \\ 5\\6}}_{Punkt}+\underbrace{\lambda\vektor{1 \\ 2\\3}}_{angehefteter.VR}
[/mm]
Wenn Du nun prüfen sollst, ob die Punkte P,Q,R mit den Koordinaten (1/2/3), (4,5,6), (7,8,9) affin abhängig sind, schaust Du Dir die Vektoren zwischen z.B. P und den anderen beiden Punkten an, also [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PR}: [/mm] sind diese beiden Vektoren linear abhängig, so sind die drei Punkte affin abhängig.
Die Frage, ob die Punkte P,Q,R affin abhängig sind, kann man auch anders stellen: liegen diese drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden?
Für 4 Punkte dann entsprechend: liegen sie in einer gemeinsamen Ebene?
Es ist wie gesagt nichts anderes als das Tun in der Schule.
> was man so
> beachten muss wenn man von "affin" redet?
Wichtig ist, daß ein affiner Raum i.d.R. kein Vektorraum ist.
Gruß v. Angela
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