Affine Unterräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 27.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
| Aufgabe | IN einem K-Vektorraum V seien zwei affine Unterräume T= v+U und T'=v'+U' gegeben. zeigen Sie:
(i) [mm] T\cap [/mm] T' [mm] \not= \emptyset \gdw [/mm] v-v' [mm] \in [/mm] U+U'. |
Hallo ich bin neu im Forum, weil ich etwas schwierigkeiten mit meinem Lina-Zettel habe.
Ich habe mir folgendes überlegt - ich soll zeigen, dass die beiden Seiten äquivalent sind.
Die linke Seite kann ich gut verstehen:
Zwei Gerdaen schneiden sich, dass heißt ich Duchschnitt ist ungleich Null. Mit der rechten seite kann ich allerdings weniger anfangen!
warum ist das äquivalent und was wäre ein Ansatz um diese Äquivaenz zu zeige?"
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen dank im voaraus
Marvi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 27.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Hey - hat denn keiner eine Idee oder einen Tipp für mich?
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Hallo Marvin,
Zuerst musst du erstmal schauen das die Aufgabe richtig gestellt ist. Wenn ich nicht in deinen "Quelltext" reingeschaut hätte, wüsste ich nicht das du fragst! Es gibt einen "Vorschau"-button, der ist nicht nur zum angucken da!
Soo, nun zur Aufgabe:
Du musst einfach die "Hin- und Rückrichtung" zeigen.
Also z.B. [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $T\cap [/mm] T'$ nicht leer. D.h. man findet ein $z$ aus [mm] $T\cap [/mm] T'$, also $z=v'+u'$ für ein $u' [mm] \in [/mm] U'$ und $z=v+u$ für ein $u [mm] \in [/mm] U$. Gleichsetzen führt dann zu $z=v+u=v'+u'$, also $v-v'=u'+ (-u)$ mit $u [mm] \in [/mm] U, u' [mm] \in [/mm] U'$. Da $U$ und $U'$ lineare Unterräume sind, ist wegen $u [mm] \in [/mm] U$ auch [mm] $-u\in [/mm] U$. Damit ist dann $v-v' [mm] \in [/mm] U+U'$.
Jetz hast du die eine Richtung schon gesehen. Die andere Richtung ist noch ein wenig leichter!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Hey - ertsmal vielen dank - die erkärung ist bis auf folgenden Punkt wirklich einleuchtend:
Da [mm]U[/mm] und [mm]U'[/mm] lineare Unterräume
> sind, ist wegen [mm]u \in U[/mm] auch [mm]-u\in U[/mm]. Damit ist dann [mm]v-v' \in U+U'[/mm].
>
Wie kommst du darauf, wrum ist es dann aus dem element U+U`
Da sehe ich irgendwie noch keinen Zusammenhang - könntest du das vielleicht nochmal etwas ausführen?
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> Hey - ertsmal vielen dank - die erkärung ist bis auf
> folgenden Punkt wirklich einleuchtend:
> Da [mm]U[/mm] und [mm]U'[/mm] lineare Unterräume
> > sind, ist wegen [mm]u \in U[/mm] auch [mm]-u\in U[/mm]. Damit ist dann [mm]v-v' \in U+U'[/mm].
> >
>
> Wie kommst du darauf, wrum ist es dann aus dem element
> U+U'
> Da sehe ich irgendwie noch keinen Zusammenhang - könntest
> du das vielleicht nochmal etwas ausführen?
Hallo,
überleg' Dir (=schlage nach...) , wie U+U' definiert ist.
Bedenke, daß mit u' [mm] \in [/mm] U auch -u' [mm] \in [/mm] U' ist. (Warum?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Also
> Bedenke, daß mit u' [mm]\in[/mm] U auch -u' [mm]\in[/mm] U' ist. (Warum?)
wenn
Da [mm]U[/mm] und [mm]U'[/mm] lineare Unterräume sind, dann ist es auch U+U`
Es sind ja Richtungsvektoren und deswegen macht es auch keinen Unterschued, ob du u oder -u nimmst.
Insofern macht es schon sinn, aber dafür muss es noch rgendeinen wichtigen ZS geben, den ich dann ja auch bei der Rückrichtung bräuchte...
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> Also
> > Bedenke, daß mit u' [mm]\in[/mm] U auch -u' [mm]\in[/mm] U' ist. (Warum?)
> wenn
> Da [mm]U[/mm] und [mm]U'[/mm] lineare Unterräume sind, dann ist es auch
> U+U'
>
> Es sind ja Richtungsvektoren und deswegen macht es auch
> keinen Unterschued, ob du u oder -u nimmst.
Hallo,
die Antwort ist unklar.
Die Frage war: wir haben einen VR U. Warum ist für [mm] u\in [/mm] U auch [mm] -u\in [/mm] U?
Welches Axiom garantiert uns das?
> Da [mm]U[/mm] und [mm]U'[/mm] lineare Unterräume sind, dann ist es auch
> U+U'
Meine Frage war eine andere: wie ist U+U' definiert?
Das ist dann der vermißte Zwischenschritt dazu, daß u-u' drin ist.
Gruß v. Angela
> Insofern macht es schon sinn, aber dafür muss es noch
> rgendeinen wichtigen ZS geben, den ich dann ja auch bei der
> Rückrichtung bräuchte...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Mag sein das ich jetzt total daneben liege, aber in zusammenhag mit einem Axiom würde mir hier dann nur einfallen, dass -n das Inverse zu n wäre und dementsprechend auch ein element aus U.
Wie U+U`definiert ist?
Ich weiß nicht wirklich was du damit meinst, als neuer VR?
Tut mir leid - ich gebe mir wirklich mhe und möchte auch total gerne auf die Lösungen kommen, aber ich verstehe das alles noch niht so ganz - von der Schule auf die Uni ist echt eine ganz schöne Umstellung...:(
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Hallo,
> Mag sein das ich jetzt total daneben liege, aber in
> zusammenhag mit einem Axiom würde mir hier dann nur
> einfallen, dass -n das Inverse zu n wäre und
> dementsprechend auch ein element aus U.
Das klingt schonmal nicht schlecht!
>
> Wie U+U'definiert ist?
> Ich weiß nicht wirklich was du damit meinst, als neuer
> VR?
Ich bin mir ziehmlich sicher, dass in deinem Hefter soetwas stehen muss wie:
[mm] U+W:=\{ u+w: u \in U, w \in W \}[/mm]
Und jetzt wieder die Frage: Wie ist $U + U'$ definiert? (das ist jetzt nur noch einen Abschreibübung...)
>
> Tut mir leid - ich gebe mir wirklich mhe und möchte auch
> total gerne auf die Lösungen kommen, aber ich verstehe das
> alles noch niht so ganz - von der Schule auf die Uni ist
> echt eine ganz schöne Umstellung...:(
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Sa 28.11.2009 | | Autor: | LariC |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Ich denke, dann spilet ihr wohl auf folgendes an:
[mm]U+U':=\{ u+u': u \in U, u' \in U' \}[/mm]
Aber um ganz ehrlich zu sein - verstanden habe ich den letzten Schritte damit noch immer nincht ganz - aber ich versuche mich jetzt mal in Ruhe an der Rückrichtung- danke!
Der Ansatz wäre dann ja, dass v-v` [mm] \in [/mm] U+U`ist, also wäre wieder zu sagen, dass für [mm] u\in [/mm] U und [mm] u`\in [/mm] U` gilt:
v-v`=u+u`...
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Hallo,
> Ich denke, dann spilet ihr wohl auf folgendes an:
> [mm]U+U':=\{ u+u': u \in U, u' \in U' \}[/mm]
Ja genau.
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> Aber um ganz ehrlich zu sein - verstanden habe ich den
> letzten Schritte damit noch immer nincht ganz - aber ich
> versuche mich jetzt mal in Ruhe an der Rückrichtung-
> danke!
Wie ist denn ein affiner Unterraum T bei euch definiert? Was ist denn, bei der Darstellung $T=v+U$, das $v$ und das $U$? Wenn du dann weißt was $U$ ist, welche Anforderungen sind denn def.gemäß daran gestellt?
> Der Ansatz wäre dann ja, dass v-v' [mm]\in[/mm] U+U'ist, also
> wäre wieder zu sagen, dass für [mm]u\in[/mm] U und [mm]u'\in[/mm] U' gilt:
> v-v'=u+u'...
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
>> Wie ist denn ein affiner Unterraum T bei euch definiert?
> Was ist denn, bei der Darstellung [mm]T=v+U[/mm], das [mm]v[/mm] und das [mm]U[/mm]?
Also T kann man sich ja als Gerade vorstellen,v ist ein nicht eindeutig bestimmter ,,Stützvektor" und U ist der Richtungsraum!
> Wenn du dann weißt was [mm]U[/mm] ist, welche Anforderungen sind
> denn def.gemäß daran gestellt?
U ist auf jeden fall eine Teilmenge von V und muss ungleich Null sein - ansonsten ist er durch T eindeutig bestimmt.
Mehr fällt mir jetzt nicht ein...
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Dein "Richtungsraum", was ist das? Das ist doch eig. einfach nur ein Vektorraum, oder nicht?
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Denke schon, halt ein Untervektorraum von V.
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^^ Die Frage war ehr rethorischer Natur. 
Ja genau. Und was ist dann (vorallem bzgl. Multiplikation mit Skalaren) gefordert? Was ist denn [mm] $\lambda [/mm] *u$ für [mm] $\lambda [/mm] = -1$?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Jaja...dann haben wir halt -u - ich galube so langsam kapier ich den Schhritt dann doch - ich weiß es hat lange gedauert...
Also ich versuche jetzt nocmal meine Rückrichtung - mein Ansatzt war dann ja ohl falsch. Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
jaja..ich denke so langsam habw ich es denn dann doch kapiert - gut ich versuche dann ejtzt nocmal die rückrichtiung!
mein Ansatz vorhin war dann ja wohl falsch .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Hallo, also meine Rückrichtung sehe jetzt wie folgt aus:
Sei v-v'= U+U' wobei u [mm] \in [/mm] U und u´ [mm] \in [/mm] U´, dann ist auch -u [mm] \in [/mm] U somit gilt:
v-v'=u'-u
v+u=v'+u'
Somit ist T=T'und wir aben sie Äquivalenz bewiesen!
geht das einfach so?
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> Hallo, also meine Rückrichtung sehe jetzt wie folgt aus:
> Sei v-v'= U+U' wobei u [mm]\in[/mm] U und u´ [mm]\in[/mm] U´, dann ist
> auch -u [mm]\in[/mm] U somit gilt:
>
> v-v'=u'-u
> v+u=v'+u'
> Somit ist T=T'und wir aben sie Äquivalenz bewiesen! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> geht das einfach so?
Du kannst nicht daraus schließen, dass $T=T'$, aber das willst du auch gar nicht zeigen. Ist $v-v' [mm] \in [/mm] U+U'$, dann gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U$ und ein $u' [mm] \in [/mm] U'$ mit $v-v' = u+u'$, umgestellt steht dann (wie du schon gezeigt hast) $v-u = v'+u'$ und damit gibt es ein Element $z$ mit $z=v-u = v'+u'$ und dieses ist dann sowohl in $T$ als auch in $T'$.
Gut jetzt hab ich wahrscheinlich ein wenig zuviel verraten. Die allerletzte Folgerung überlass ich aber noch dir.^^
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Sa 28.11.2009 | | Autor: | MarvinB |
Du meinst dann wahrschienlich, dass der schnitt von T und T` somit unmöglich leer sein kann und dies war zu beweisen. Also: Fertig :)
Da war meins ja garnicht sooooo schlecht :)
Danke dir!
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