Aktivität < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 30.10.2016 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Zur Diagnnostik wird einem Patienten radioaktiver Tracer mit einer Aktivität von 1 kBq verabreicht.
In der Probe befinden sich zu Beginn entwa [mm] 10^{10} [/mm] Atome.
Wieviel Atome befinden sich nach 1000s etwa noch in der Probe. |
Hallo,
ich habe mal bitte eine Frage zur oben genannten Aufgabenstellung.
Ich habe mal gerechnet, bin mir aber ziemlich sicher das es nicht so einfach sein kann.
Aus diesem Grund möchte ich euch einmal bitte um eure Hilfe fragen.
Mein Rechenweg...
[mm] N=N_{0}*e^{-\lambda *t}=10^{10}*e^{-1000s^{-1}*1000s}=0
[/mm]
Das kann doch nicht stimmen, oder?
Auf jeden Fall schon einmal vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo!
Neee, sicher nicht. Das [mm] \lambda [/mm] ist eine Konstante, die du so noch nicht kennst.
Du kannst es erstmal recht einfach abschätzen:
Pro Sekunde zerfallen 1000 Kerne, in 1000 Sekunden daher etwa [mm] 1000*1000=10^6 [/mm] Kerne.
Dazu ne Bonusfrage an dich: Warum geht das, und dürfte sogar schon recht präzise sein?
Aber du möchtest sicher eher die mathematisch korrekte Lösung.
Du kennst die Formel, die die die Anzahl der Atome nach einer gewissen Zeit liefert:
[mm] $N(t)=N_0*e^{-\lambda t} [/mm] $
Ausgehend davon, wie verändert sich die Anzahl pro Zeiteinheit zu einem bestimmten Zeitpunkt? Das wäre ja die Zerfallsrate. Und die kennst du für den Zeitpunkt t=0. So kommst du an [mm] \lambda. [/mm] (Die Vorzeichen können da noch ein wenig fies werden)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 30.10.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Zuerst einmal vielen Dank.
Also das abschätzen dürfte recht genau sein da der Stoff ja konstant zerfällt.
Und zum Zeitpunkt Null steht dann doch da,
[mm] N(0)=10^{9}*e^{-\lambda*0s}
[/mm]
[mm] 1=e^{0}
[/mm]
Nur das bringt mich doch jetzt nicht weiter...
Was mache ich denn falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 30.10.2016 | | Autor: | chrisno |
Wie kommst Du [mm] auf$10^9$?
[/mm]
Da sollte gerne [mm] $10^{10}$ [/mm] stehen.
N(0) gibt die Anzahl der Atome zum Zeitpunkt 0 an.
Wie viele sind es nach einer Sekunde? .... naja, 1000 weniger.
Damit kennst Du N(1) und kannst [mm] $\lambda$ [/mm] ausrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 So 30.10.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Sorry, Tippfehler von mir :).
Aber danke :).
Na dann habe ich das doch richtig verstanden.
Ich war nur verwirrt weil ich dachte ich muss mich komplett auf den Zeitpunkt 0 beziehen.
Aber so macht es Sinn :).
|
|
|
| |
|
Hallo!
Chrisno ist da jetzt reingesprungen, aber ich hatte das eigentlich anders gedacht.
Der Stoff zerfällt eigentlich nicht konstant, sondern folgt ja dem exponentiellen Zerfallsgesetz. Aber: Der Abschätzung nach zerfallen in den 1000 Sekunden nur 1 Mio Atome, das ist ein winziger Bruchteil der Atome!
Und das heißt, der Zeitraum ist auch winzig z.B. gegenüber der Halbwertszeit. Daher macht sich der exponentielle Charakter noch nicht wirklich bemerkbar, und man kann von einer konstanten Zerfallsrate ausgehen.
Würden z.B. die Hälfte der Atome in den 1000 Sekunden zerfallen, wäre die Abschätzung nicht mehr besonders gut.
Chrisno hat nun geschrieben, daß N(1)-N(0)=1000/s gilt. Das kann man so machen, sofern sich an der Gesamtzahl an Atomen in einer Sekunde nicht viel ändert. Außerdem muß man dann ja noch irgendwie das [mm] \lambda [/mm] berechnen.
Ich wollte darauf hinaus, daß die Aktiviät grade die negative Ableitung der Anzahl der Atome ist:
[mm] $N'(t)=(N_0*e^{-\lambda t})'=-N_0*\lambda*e^{-\lambda t}$
[/mm]
Für t=0 ergibt sich daher [mm] $1000/s=N_0*\lambda$ [/mm] und daher [mm] $\lambda=\frac{1000/s}{10^{10}}=10^{-7}/s$ [/mm] . Das kann man noch in ne Halbwertszeit umrechnen, wenn man will: [mm] $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\approx80d$. [/mm] Das zeigt auch nochmal, daß verglichen dazu 1000s extrem kurz sind.
Meine Rechnung ist dann besser als Chrisnos, wenn der Stoff sehr viel schneller zerfällt. So ein Stoff wäre aber auch als Tracer ziemlich unpraktisch, er muß ja erstmal vom Reaktor zum Patienten gebracht werden, und ne gewisse Lagerfähigkeit wäre auch wünschenswert.
Damit haben wir jetzt drei Lösungswege, die aber alle so ziemlich das gleiche Ergebnis liefern.
|
|
|
|
