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| Aufgabe | gegeben ist folgende Funktion:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] + 2*x + 3 sowie der Punkt P(-2/-3)
Gesucht ist die Tangente durch den Punkt P (P liegt nicht auf der Parabel) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab da leider keinen Ansatz.
Würde der Punkt auf der Parabel liegen, wäre die Aufgabe kein Problem...
Ich weiß, dass die Ableitung die Steigung ist, usw...
Gruss Wuschel
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Hallo Wuschlafin.
Die Aufgabe ist folgendermaßen zu verstehen: Du hast eine Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve. Gesucht ist nun eine Gerade, die durch den Punkt verläuft und tangential an der Kurve anliegt.
Du nimmst dir also ersteinmal einen beliebigen Punkt [mm] P_0=(x_0,y_0) [/mm] auf der Kurve und bestimmst für diesen Punkt die Gleichung der Tangente. Jetzt müsstest du für alle Tangente von f eine Gleichung haben. Nun schaust du welche dieser Tangenten durch den Punkt P verlaufen. Dann hast du deine Tangentengleichung.
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hallo,
also habe jetzt mal den punkt B(-2/3) genommen und die Tangente dadurch bestimmt.
t(x)=-2x-1
Wie komm ich denn jetzt auf die gesuchte Tangente?
Verstehe deine Aussage nicht, das ich dann alle Tangenten für den Graph haben müsste.
Gruss
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Hallo Wuschlafin,
> hallo,
> also habe jetzt mal den punkt B(-2/3) genommen und die
> Tangente dadurch bestimmt.
> t(x)=-2x-1
Das hilft dir wenig.
Mein Vorredner hat doch schon gesagt, dass du die Tangente an einem beliebigen Punkt [mm] $(x_0,f(x_0))$ [/mm] des Graphen von f berechnen sollst.
Du bekommst damit eine Gerade der Form [mm] $t_{x_0}(x)=m\cdot{}x+b$, [/mm] wobei die Steigung $m$ und das $b$ von [mm] $x_0$ [/mm] abhängen werden.
Wenn du diese Tangente hast, so soll der Punkt $P=(-2,-3)$ auf [mm] $t_{x_0}$ [/mm] liegen, also setze dann [mm] $t_{x_0}(-2)=-3$ [/mm] ein und löse nach [mm] $x_0$ [/mm] auf.
Das gibt dir die gesuchte [mm] $x_0$-Koordinate [/mm] des Punktes auf dem Graphen von $f$, dessen Tangente durch den gesuchten Punkt P geht
> Wie komm ich denn jetzt auf die gesuchte Tangente?
> Verstehe deine Aussage nicht, das ich dann alle Tangenten
> für den Graph haben müsste.
siehe oben, berechne für einen allg. des Graphen von $f$, nennen wir ihn [mm] $A=(x_0,f(x_0))$ [/mm] die Tangente usw. ...
> Gruss
LG
schachuzipus
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hallo,
also komme soweit mit.
Hab ja einen beliebigen Punkt auf der Parabel genommen B(-2/3) und damit die Tangente dadurch bestimmt. Diese lautet ja dann m(x)=-2x-1.
Jetzt soll ich da meinen Punkt P(-2/-3) einsetzen und nach x auflösen?
Ich hab doch dann gar keine unbekannte mehr.
Irgendwie verstehe ich das nicht ganz...
Gruss
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Hallo nochmal,
> hallo,
> also komme soweit mit.
> Hab ja einen beliebigen Punkt auf der Parabel genommen
> B(-2/3) und damit die Tangente dadurch bestimmt. Diese
> lautet ja dann m(x)=-2x-1.
Das mag ja sein, aber der Punkt $B=(-2/3)$ ist doch nicht beliebig, es gibt doch unendlich viele andere Punkte auf der Parabel.
Da du im Vorneherein nicht weißt, durch welchen Punkt (des Graphen von f) [mm] $A=(x_0,f(x_0))$ [/mm] die gesuchte Tangente geht, musst du halt die Tangente allg. berechnen, nimm dir den Punkt [mm] $A=(x_0,f(x_0))=(x_0,2x_0^2+2x_0+3)$ [/mm] her und rechne die Tangente daran aus
> Jetzt soll ich da meinen Punkt P(-2/-3) einsetzen und nach
> x auflösen?
> Ich hab doch dann gar keine unbekannte mehr.
> Irgendwie verstehe ich das nicht ganz...
> Gruss
LG
schachuzipus
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also die Ableitung ist ja die Steigung.
die Ableitung lautet: f´(x0)=2x0 + 2, das ist ja damit auch die Steigung
hab dann (-2/-3) eingesetzt um b auszurechnen.
hab dann hinterher raus:
t(x)=(2x0+3)*x + 4x0 + 3
also m=2x0 + 3 und
b= 4x0 + 3
Was mach ich jetzt?
x0 ist doch immer noch unbekannt...
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Hallo, sortieren wir mal:
[mm] f(x)=x^{2}+2x+3
[/mm]
f'(x)=2x+2 somit
[mm] f'(x_0)=2x_0+2=m [/mm] das hast du
der Punkt (-2;-3) liegt auf der Tangente, wir können also die Gleichung aufstellen
-3=m*(-2)+b
[mm] -3=(2x_0+2)*(-2)+b
[/mm]
[mm] -3=-4x_0-4+b
[/mm]
diese Gleichung können wir umstellen nach [mm] b=4x_0+1
[/mm]
der genannte Punkt A gehört ja zur Parabel und zur Tangente, somit gilt
[mm] f(x_0)=t(x_0)
[/mm]
[mm] x_0^{2}+2x_0+3=(2x_0+2)x_0+b
[/mm]
setzen wir b ein
[mm] x_0^{2}+2x_0+3=(2x_0+2)x_0+4x_0+1
[/mm]
[mm] x_0^{2}+2x_0+3=2x_0^{2}+2x_0+4x_0+1
[/mm]
[mm] 0=x_0^{2}+4x_0-2
[/mm]
jetzt sieht doch alles schn recht freundlich aus, eine Unbekannte, jetzt hilft dir die p-q-Formel, du bekommst für [mm] x_0 [/mm] zwei Lösungen, es gibt also zwei Berührstellen, also zwei Tangenten, den Rest schaffst du jetzt, so sieht die Geschichte aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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