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| Aufgabe | K alg. abgeschlossener Körper, V K-VR endl dim. (nicht Nullraum mit dim V = n)
R Unteralgebra von [mm] M_n(K)
[/mm]
Zeige: V endlich als R-Modul => R = M_(K)
Hinweis: Bestimmte [mm] End_R(V) [/mm] und verwende Dichtheitssatz |
Es ist doch [mm] M_n(K) [/mm] K-Algebra und [mm] M_n(K) \cong End_K(V)
[/mm]
Also [mm] End_K(V) [/mm] K-Algebra.
Beweisführung:
Mit dem Hinweis zeige ich, dass R = [mm] End_R(V) [/mm] eine nullteilerfreie endl. dim. K-Algebra
=(best. Satz)=> [mm] End_R(V) [/mm] = K
Mit dem Dichteheitssatz R' = [mm] End_R(V) [/mm] und R'' = [mm] End_R'(V) [/mm] ist dann R = [mm] M_n(K).
[/mm]
Mir ist aber nicht klar, warum [mm] End_R(V) [/mm] eine K-Algebra ist.
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Hallo lukas!
> K alg. abgeschlossener Körper, V K-VR endl dim. (nicht
> Nullraum mit dim V = n)
> R Unteralgebra von [mm]M_n(K)[/mm]
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> Zeige: V endlich als R-Modul => R = M_(K)
> Hinweis: Bestimmte [mm]End_R(V)[/mm] und verwende Dichtheitssatz
>
>
> Es ist doch [mm]M_n(K)[/mm] K-Algebra und [mm]M_n(K) \cong End_K(V)[/mm]
>
> Also [mm]End_K(V)[/mm] K-Algebra.
>
> Beweisführung:
> Mit dem Hinweis zeige ich, dass R = [mm]End_R(V)[/mm] eine
> nullteilerfreie endl. dim. K-Algebra
> =(best. Satz)=> [mm]End_R(V)[/mm] = K
>
> Mit dem Dichteheitssatz R' = [mm]End_R(V)[/mm] und R'' = [mm]End_R'(V)[/mm]
> ist dann R = [mm]M_n(K).[/mm]
>
> Mir ist aber nicht klar, warum [mm]End_R(V)[/mm] eine K-Algebra ist.
Es wird für [mm] $\phi \in \text{End}_R(V), v\in [/mm] V, k [mm] \in [/mm] K$ definiert, dass [mm] $(k\phi)(v) [/mm] := [mm] \phi(kv)$
[/mm]
LG mathfunnel
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Mir ist es nun klarer geworden...*hoff*
i) [mm] End_R(V) [/mm] ist ein Ring
ii) [mm] End_R(V) [/mm] ist ein K-VR, denn [mm] \phi(kv) [/mm] = [mm] \phi(k(Ev)) [/mm] = [mm] \phi((kE)v) [/mm] = [mm] (kE)\phi(v) [/mm] = [mm] k\phi(v), [/mm] dabei ist kE [mm] \in [/mm] R, k [mm] \in [/mm] K
iii) [mm] (k\phi) \psi [/mm] = [mm] \phi(k\psi) [/mm] für [mm] \phi, \psi \in End_R(V), [/mm] k [mm] \in [/mm] K, da [mm] End_R(V) \subseteq End_K(V) [/mm] nach ii)
Also [mm] End_R(V) [/mm] eine K-Algebra. Ist das so richtig argumentiert?
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Hallo lukas!
> Mir ist es nun klarer geworden...*hoff*
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> i) [mm]End_R(V)[/mm] ist ein Ring
Ok.
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> ii) [mm]End_R(V)[/mm] ist ein K-VR, denn [mm]\phi(kv)[/mm] = [mm]\phi(k(Ev))[/mm] =
> [mm]\phi((kE)v)[/mm] = [mm](kE)\phi(v)[/mm] = [mm]k\phi(v),[/mm] dabei ist kE [mm]\in[/mm] R, k
> [mm]\in[/mm] K
[mm] $End_R(V)$ [/mm] ist ein K-VR, da mit [mm] $(k\phi: [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] V, v [mm] \mapsto \phi(kv))$ [/mm] eine $K$-Modulstruktur auf [mm] $End_R(V)$ [/mm] definiert wird: $K$-Modul Axiome überprüfen und nachweisen, dass [mm] $k\phi \in End_R(V)$! [/mm]
>
> iii) [mm](k\phi) \psi[/mm] = [mm]\phi(k\psi)[/mm] für [mm]\phi, \psi \in End_R(V),[/mm]
> k [mm]\in[/mm] K, da [mm]End_R(V) \subseteq End_K(V)[/mm] nach ii)
[mm] $k(\phi\psi) [/mm] = [mm] (k\phi)\psi=\phi (k\psi)$. [/mm] Den Beweis dazu vielleicht zur Sicherheit etwas ausführlicher aufschreiben.
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> Also [mm]End_R(V)[/mm] eine K-Algebra. Ist das so richtig
> argumentiert?
>
LG mathfunnel
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i) [mm] End_R(V) [/mm] ist ein Ring
ii) [mm] k\phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V mit v [mm] \mapsto \phi(kv) [/mm] ist R-Modulstruktur:
Seien x,y [mm] \in [/mm] V k,l [mm] \in [/mm] K.
a) [mm] k\phi(x+y) [/mm] = [mm] \phi(k(x+y)) [/mm] = [mm] \phi(kx+ky) [/mm] = [mm] \phi(kx) [/mm] + [mm] \phi(ky) [/mm] = [mm] k\phi(x) [/mm] + [mm] k\phi(y)
[/mm]
b) [mm] (k+l)\phi(x) [/mm] = [mm] \phi((k+l)*x) [/mm] = [mm] \phi(kx+lx) [/mm] = [mm] \phi(kx) [/mm] + [mm] \phi(lx) [/mm] = [mm] k\phi(x) [/mm] + [mm] l\phi(x)
[/mm]
c) [mm] (k*l)\phi(x) [/mm] = [mm] \phi((k*l)*x) [/mm] = [mm] \phi(k*(l*x)) [/mm] = [mm] k*\phi(l*x)
[/mm]
d) [mm] 1*\phi(x) [/mm] = [mm] \phi(1*x) [/mm] = [mm] \phi(x)
[/mm]
Weiß nicht wie man [mm] k\phi \in End_R(V) [/mm] zeigt...
iii) Seien [mm] \psi,\phi \in End_R(V) [/mm] und k [mm] \in [/mm] K
[mm] k(\phi\circ\psi)(x) [/mm] = [mm] (\phi\circ\psi)(kx) [/mm] = [mm] \phi(\psi(kx)) [/mm] = [mm] \phi(k\psi(x)) [/mm] = [mm] \phi\circ(k\psi)(x)
[/mm]
[mm] k(\phi\circ\psi)(x) [/mm] = [mm] (\phi\circ\psi)(kx) [/mm] = [mm] \phi(\psi(kx)) [/mm] = [mm] \phi(k\psi(x)) [/mm] = [mm] k\phi\circ\psi(x)
[/mm]
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Hallo lukas!
> i) [mm]End_R(V)[/mm] ist ein Ring
> ii) [mm]k\phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] V mit v [mm]\mapsto \phi(kv)[/mm] ist
> R-Modulstruktur:
Ich denke Du meinst [mm] $End_R(V)$ [/mm] ist ein $K$-Modul via [mm] $(k\phi)(v) [/mm] := [mm] \phi(k\cdot [/mm] v) = [mm] k\cdot \phi(v)$, [/mm] für [mm] $v\in [/mm] V, [mm] \phi \in End_R(V)$. [/mm] Das Gleichheitszeichen, hast Du schon verstanden (siehe frühere Frage): [mm] $k\phi [/mm] = [mm] k\cdot \phi$. [/mm]
> Seien x,y [mm]\in[/mm] V k,l [mm]\in[/mm] K.
> a) [mm]k\phi(x+y)[/mm] = [mm]\phi(k(x+y))[/mm] = [mm]\phi(kx+ky)[/mm] = [mm]\phi(kx)[/mm] +
> [mm]\phi(ky)[/mm] = [mm]k\phi(x)[/mm] + [mm]k\phi(y)[/mm]
Hier willst Du wohl eher zeigen, dass [mm] $k(\phi_1+\phi_2) [/mm] = [mm] k\phi_1+k\phi_2$.
[/mm]
> b) [mm](k+l)\phi(x)[/mm] = [mm]\phi((k+l)*x)[/mm] = [mm]\phi(kx+lx)[/mm] = [mm]\phi(kx)[/mm] +
> [mm]\phi(lx)[/mm] = [mm]k\phi(x)[/mm] + [mm]l\phi(x)[/mm]
> c) [mm](k*l)\phi(x)[/mm] = [mm]\phi((k*l)*x)[/mm] = [mm]\phi(k*(l*x))[/mm] =
> [mm]k*\phi(l*x)[/mm]
> d) [mm]1*\phi(x)[/mm] = [mm]\phi(1*x)[/mm] = [mm]\phi(x)[/mm]
Die Modulaxiome sind eine unmittelbare Folgerung der $K$-Vektorraumeigenschaften von $V$.
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> Weiß nicht wie man [mm]k\phi \in End_R(V)[/mm] zeigt...
>
[mm] $(k\phi)(rv)=k\cdot \phi(rv) [/mm] = [mm] k\cdot (r\phi(v)) [/mm] = [mm] r(k\cdot\phi(v))=r(k\phi)(v)$, [/mm] da [mm] $k\cdot [/mm] (rx)= [mm] r(k\cdot [/mm] x)$ für [mm] $x\in [/mm] V, r [mm] \in [/mm] R$, da $R$ Unteralgebra von [mm] $M_n(K)$ [/mm] ist.
> iii) Seien [mm]\psi,\phi \in End_R(V)[/mm] und k [mm]\in[/mm] K
> [mm]k(\phi\circ\psi)(x)[/mm] = [mm](\phi\circ\psi)(kx)[/mm] = [mm]\phi(\psi(kx))[/mm]
> = [mm]\phi(k\psi(x))[/mm] = [mm]\phi\circ(k\psi)(x)[/mm]
> [mm]k(\phi\circ\psi)(x)[/mm] = [mm](\phi\circ\psi)(kx)[/mm] = [mm]\phi(\psi(kx))[/mm]
> = [mm]\phi(k\psi(x))[/mm] = [mm]k\phi\circ\psi(x)[/mm]
Das ist richtig, da [mm] $(k\phi)(x) [/mm] = k [mm] \cdot \phi(x)$ [/mm] für [mm] $\phi \in End_R(V), k\in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] V$.
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