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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 25.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Finden Sie alle Gruppenhomomorphismen von;
f: [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/2\IZ [/mm] |
Hallo Leute,
habe mir einfach mal folgende Abbildungen definiert:
1. (a,b) -> a+b
2. (a,b) -> ab
Jetzt habe ich als Gruppenhomomorphismen:
1. $f((a,b)+(c,d))=(a+b)+(c+d)=f((a,b))+f((c,a))$
2. $f((a,b)+(c,d))=(ab)+(cd)=f((a,b))+f((c,a))$
Das wären ja 2. Gruppenhomophismen, was wäre denn aber mit den Fällen:
3. $f((a,b)*(c,d))=(a+b)*(c+d)=f((a,b))*f((c,a))$
4. $f((a,b)*(c,d))=(ab)*(cd)=f((a,b))*f((c,a))$
Müssen die auch noch berücksichtigt werden, habe ich also 4 mögliche Gruppenhomomorphismen?
Danke schonmal!
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Hallo!
> Finden Sie alle Gruppenhomomorphismen von;
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> f: [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
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> Hallo Leute,
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> habe mir einfach mal folgende Abbildungen definiert:
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> 1. (a,b) -> a+b
> 2. (a,b) -> ab
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> Jetzt habe ich als Gruppenhomomorphismen:
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> 1. [mm]f((a,b)+(c,d))=(a+b)+(c+d)=f((a,b))+f((c,a))[/mm]
> 2. [mm]f((a,b)+(c,d))=(ab)+(cd)=f((a,b))+f((c,a))[/mm]
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> Das wären ja 2. Gruppenhomophismen, was wäre denn aber
> mit den Fällen:
>
> 3. [mm]f((a,b)*(c,d))=(a+b)*(c+d)=f((a,b))*f((c,a))[/mm]
> 4. [mm]f((a,b)*(c,d))=(ab)*(cd)=f((a,b))*f((c,a))[/mm]
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> Müssen die auch noch berücksichtigt werden, habe ich also
> 4 mögliche Gruppenhomomorphismen?
>
> Danke schonmal!
Also zunächst einmal: Das sind additive Gruppen, nicht multikplikative...
Du hast zwei ziemlich kleine endliche Gruppen, da kann man sie einfach mal hinschreiben und gucken, welches Element auf welches abgebildet werden kann.
Also [mm] G=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\} [/mm] und [mm] H=\{0,1\} [/mm] mit Addition mod 2.
Zwingend wird (0,0) auf 0 abgebildet, was sonst noch möglich ist, kann man einfach mal hinschreiben. Hier ist wichtig, dass das Bild von (1,1) die Summe der Bilder von (1,0) und (0,1) ist. Es müssten übrigens in der Tat 4 sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 25.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Kann ich mir gerade nicht vorstellen, also:
f((0,0))=0
f((1,0))=f((0,1))=1
f((1,1))=0
1+1=0, da Ordnung von [mm] \IZ/2\IZ [/mm] gleich 2 ist.
Aber wie muss ich mir nun den Homomorphismus bauen?
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> Kann ich mir gerade nicht vorstellen, also:
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> f((0,0))=0
> f((1,0))=f((0,1))=1
> f((1,1))=0
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> 1+1=0, da Ordnung von [mm]\IZ/2\IZ[/mm] gleich 2 ist.
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> Aber wie muss ich mir nun den Homomorphismus bauen?
>
>
Das ist z. B. einer. Du musst ja nur angeben, wohin die einzelnen Elemente abgebildet werden und das hast du getan. Du musst jetzt nur noch die anderen Möglichkeiten angeben, worauf (1,0) und (0,1) abgebildet werden können und dann hast sie alle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Di 25.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Hm, ok, aber was wäre denn noch eine Möglichkeit, das verstehe ich nicht ganz.
Meinst du sowas wie:
f((0,1))=0
f((1,0))=1
Einfach varieren? Wobei ja f((0,0))=0 immer sein muss, wegen dem neutralen Element oder?
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> Meinst du sowas wie:
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> f((0,1))=0
> f((1,0))=1
Hallo,
und hieraus ergibt sich dann ja f((1,1)).
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> Einfach varieren? Wobei ja f((0,0))=0 immer sein muss,
Genau.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 26.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke euch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 26.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Sorry, verklickt, habs verstanden, danke euch!
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