Allg. Ableitungsformel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 23.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | Leiten Sie für folgende Fkt. eine Allg. Ableitungsformel her.
f(x)=ln(1+x) x>-1
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Hallo!
Ich habe nun mehrere Ableitungen ausgerechnet um mir das ganze zu verdeutlichen, dabe ist zu erkennen, dass der
Nenner wohl [mm] (x+1)^{n} [/mm] lauten muss.
Allerdings bekomme ich nichts passendes für den Zähler hin, der nimmt im Betrag stark zu, wechselt aber das Vorzeichen.
meine Form lautet nun
[mm] f^{(n)}(x)=\bruch{y}{(x+1)^{n}} [/mm]
wobei gilt für 2n y<0 ; n+1 y>0
Ich habe auch schon versucht, den LN außeinander zu ziehen, indem ich x ausgeklammert habe und damit nach der Summenregel ableiten kann, da komm ich aber schon bei der 2. Ableitung auf schaurige Brüche.
Danke für einen kleinen Tipp!
Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johannes!
Um das Problem mit dem wechselendem Vorzeichen in den Griff zu bekommen, kannst Du folgenden Term als Faktor verwenden: [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] .
Allerdings fehlt in Deiner allgemeinen Lösung noch der richtige Faktor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 23.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
Hallo!
Danke, aber das ist (leider) nicht das Problem...
beispielsweise steht für [mm] f^{(1)}(x) [/mm] 1 [mm] f^{(3)}(x) [/mm] 2 im Zähler;
für [mm] f^{(4)}(x) [/mm] -6 ; für [mm] f^{(7)}(x) [/mm] 840 usw. usw.
Ich hab schon einiges probiert auch mit Quadraten o.ä. aber ich komm auf keinen grünen Zweig.
[mm] f^{(n)}(x)=\bruch{y*(-1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}
[/mm]
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Hallo jogi87,
> Hallo!
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> Danke, aber das ist (leider) nicht das Problem...
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> beispielsweise steht für [mm]f^{(1)}(x)[/mm] 1 [mm]f^{(3)}(x)[/mm] 2 im
> Zähler;
> für [mm]f^{(4)}(x)[/mm] -6 ; für [mm]f^{(7)}(x)[/mm] 840 usw. usw.
>
> Ich hab schon einiges probiert auch mit Quadraten o.ä.
> aber ich komm auf keinen grünen Zweig.
> [mm]f^{(n)}(x)=\bruch{y*(-1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}[/mm]
Ich will mal nicht alles verraten, aber denke mal an die Fakultäten ...
Klingelt's?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 23.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
> > [mm][/mm]
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> Ich will mal nicht alles verraten, aber denke mal an die
> Fakultäten ...
>
> Klingelt's?
Wenn das stimmt, dann ja...
[mm] f^{(n)}(x)=\bruch{(n-1)!*(-1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}
[/mm]
aber ganz ehrlich - wie kommt man bitte auf sowas?
Ich wäre jedenfalls nie drauf gekommen und jetzt kommt noch der Induktionsbeweis...
Danke und gruß
Danke
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Hi!
> > > [mm][/mm]
> >
> > Ich will mal nicht alles verraten, aber denke mal an die
> > Fakultäten ...
> >
> > Klingelt's?
> Wenn das stimmt, dann ja...
>
> [mm]f^{(n)}(x)=\bruch{(n-1)!*(-1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Überprüfe die Fakultät. Es muss lediglich $n!$ heißen. In deiner Version stimmt schon die 2. Ableitung nicht mehr.
> aber ganz ehrlich - wie kommt man bitte auf sowas?
Der [mm] $(-1)^{...}$-Trick [/mm] ist ein Standardtrick, den mal einmal kennenlernen und sich dann einfach merken muss. Die Fakultät ist eigentlich offensichtlich.
> Ich wäre jedenfalls nie drauf gekommen und jetzt kommt
> noch der Induktionsbeweis...
> Danke und gruß
>
>
> Danke
Stefan.
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Hallo Stefan,
> Hi!
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> > > >[mm][/mm]
> > >
> > > Ich will mal nicht alles verraten, aber denke mal an die
> > > Fakultäten ...
> > >
> > > Klingelt's?
> > Wenn das stimmt, dann ja...
> >
> > [mm]f^{(n)}(x)=\bruch{(n-1)!*(-1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}[/mm]
> >
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> Überprüfe die Fakultät. Es muss lediglich [mm]n![/mm] heißen. In
> deiner Version stimmt schon die 2. Ableitung nicht mehr.
Bedenke, dass die Ausgangsfunktion [mm] $f(x)=\ln(1+x)$ [/mm] ist ...
Die Formel stimmt so ...
>
> > aber ganz ehrlich - wie kommt man bitte auf sowas?
>
> Der [mm](-1)^{...}[/mm]-Trick ist ein Standardtrick, den mal einmal
> kennenlernen und sich dann einfach merken muss. Die
> Fakultät ist eigentlich offensichtlich.
>
> > Ich wäre jedenfalls nie drauf gekommen und jetzt kommt
> > noch der Induktionsbeweis...
> > Danke und gruß
> >
> >
> > Danke
>
> Stefan.
LG
schachuzipus
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Da war ich voreilig, dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 23.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
OK! vielen Dank, den Beweiß hab ich hinbekommen.
gruß Johannes
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