Allgemeine Lösung m x n Matriz < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 08.11.2008 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine Lösung des Gleichungssystems
A * x = b
wobei A Element M(3 x4), b Element [mm] R^3 [/mm] wie folgt gegeben sind.
[mm] \pmat{ 2 & 3 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 &2 \\ -4 & 1 & -8 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] |
Ich habe ein grundsätzliches Verständnissproblem bei diesem Bsp.
Gegeben sind 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Wie soll ich hier die einzelnen x ausrechnen? Ich brauche doch für jede Unbekannte eine Gleichung.
Ich habe versucht die Matrix auf Stufenform zu bringen.
2 3 -2 3 | -2
0 -1 2 2 | 1
-4 1 -8 2 | 2
nach der Umformung
2 3 -2 3 | -2
0 -1 2 2 | 1
0 0 2 22 | 5
Wenn ich nun das Gleichungssystem aufstelle kommt heraus:
[mm] 2*x_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2} [/mm] - [mm] 2*x_{3} [/mm] + [mm] 3*x_{4} [/mm] = -1
- [mm] 1*x_{2} [/mm] + [mm] 2*x_{3} [/mm] + [mm] 2*x_{4} [/mm] = 1
[mm] 2*x_{3} [/mm] + [mm] 22*x_{4} [/mm] = 5
Wie kann ich dieses Bsp. lösen?
Danke für die Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Wie kann ich dieses Bsp. lösen?
Da du weniger Gleichungen (bei dir 3 Gleichungen) als Unbekannte (bei Dir 4 Unbekannte [mm] $x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$) [/mm] hast, darfst Du eine der Unbekannten frei wählen. Wie Du sie wählst, bleibt Dir überlassen. Anschließend hast Du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, so dass Du in der Lage bist eine eindutige Lösung zu berechnen.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 08.11.2008 | | Autor: | pioneer |
Hallo Denny!
Zunächst danke für deine schnelle Antwort.
Was wäre in meinem Fall eine geeignete Wahl für eine Variable?
Stimmt [mm] x_{4} [/mm] = [mm] \bruch{5 - 2* x_{3}}{22} [/mm] ?
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Hallo pioneer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Denny!
>
> Zunächst danke für deine schnelle Antwort.
> Was wäre in meinem Fall eine geeignete Wahl für eine
> Variable?
Eine geeignete Wahl für die freie Variable wäre [mm]x_{4}[/mm].
> Stimmt [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\bruch{5 - 2* x_{3}}{22}[/mm] ?
Welche Variable als frei wählbar genommen wird, ist eigentlich egal.
Hier hast Du [mm]x_{3}[/mm] als frei wählbare Variable genommen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 08.11.2008 | | Autor: | pioneer |
Hallo MathePower!
Ich muss echt sagen, ihr seid der Wahnsinn in diesem Forum. Eine Antwort in 2 Minuten hätte ich mir nicht erwartet. Vielen herzlichen Dank.
Ich habe nun versucht [mm] x_{4} [/mm] als 1 zu wählen (darf ich doch, oder?) und anschließend [mm] x_{3}, x_{2}, x_{1} [/mm] ausgerechnet. Wenn ich nun den
x = [mm] \pmat{ 13 \\ -16 \\ -8,5 \\ 1 } [/mm] mit der ursprünglichen Matrix mit dem Programm MathCad multipliziere kommt genau b heraus.
Wenn ich die Angabe richtig versteht, ist das ja die Lösung, oder?
Danke
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo MathePower!
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> Ich muss echt sagen, ihr seid der Wahnsinn in diesem Forum.
> Eine Antwort in 2 Minuten hätte ich mir nicht erwartet.
> Vielen herzlichen Dank.
>
> Ich habe nun versucht [mm]x_{4}[/mm] als 1 zu wählen (darf ich doch,
> oder?) und anschließend [mm]x_{3}, x_{2}, x_{1}[/mm] ausgerechnet.
> Wenn ich nun den
> x = [mm]\pmat{ 13 \\ -16 \\ -8,5 \\ 1 }[/mm] mit der ursprünglichen
> Matrix mit dem Programm MathCad multipliziere kommt genau b
> heraus.
> Wenn ich die Angabe richtig versteht, ist das ja die
> Lösung, oder?
Das ist nur eine Lösung von vielen.
Alle Lösungen erhältst Du, wenn [mm]x_{4}[/mm] variabel hältst.
>
> Danke
> pioneer
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 08.11.2008 | | Autor: | pioneer |
Hallo MathePower
> Das ist nur eine Lösung von vielen.
>
> Alle Lösungen erhältst Du, wenn [mm]x_{4}[/mm] variabel hältst.
Das ist dann wahrscheinlich auf die geforderte Lösung laut Angabe (allgemeine Lösung) oder?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo MathePower
>
> > Das ist nur eine Lösung von vielen.
> >
> > Alle Lösungen erhältst Du, wenn [mm]x_{4}[/mm] variabel hältst.
>
> Das ist dann wahrscheinlich auf die geforderte Lösung laut
> Angabe (allgemeine Lösung) oder?
So isses.
>
> mfg
> pioneer
Gruß
MathePower
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