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| Aufgabe | | Listen Sie alle Zykel auf die in der alternierenden gruppe vom Gard 6 vorkommen und bestimmen Sie deren Anzahl. |
Hallo,
wie sich heute herausgestellt hat, kann ich nicht zählen !
In der alternierenden Gruppe kommen mMn folgende Zykel vor:
5-Zykel , 4-Zykel und 2-Zykel, 3-Zykel und 3-Zykel, 3-Zykel, 2-Zykel und 2-Zykel sowie die Identität.
Die Anzahl der Elemente in [mm] A_{6} [/mm] sollte nun 360 ergeben, hier meine Rechnung für die Anzahl der einzelnen Zykel:
5-Zykel: [mm] \vektor{6 \\ 5}4!=144
[/mm]
4-Zykel und 2-Zykel : [mm] \vektor{6 \\ 4}\vektor{2 \\ 2}3!\frac{1}{2}=45
[/mm]
3-Zykel und 3-Zykel: [mm] \vektor{6 \\ 3}\vektor{3 \\ 3}2!2!\frac{1}{2}=40
[/mm]
3-Zykel: [mm] \vektor{6 \\ 3}2!=40
[/mm]
2-Zykel und 2-Zykel : [mm] \vektor{6 \\ 4}\vektor{4 \\ 2}\frac{1}{2}=45
[/mm]
Identität: 1
Das ergibt addiert 315. Habe ich jetzt irgendwo falsch "gezählt" oder Elemente ausgelassen ?
LG
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Hallo MontBlanc,
das Ergebnis sollte 360 lauten, wie Dir wahrscheinlich bewusst ist.
Begründe doch mal Deine Zyklenzählung.
Grüße
reverend
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Hi,
also es ist prinzipiell immer die Gleiche vorgehensweise:
für die 5-Zykel: 5 aus 6 auswählen [mm] \Rightarrow \vektor{6 \\ 5}, [/mm] dann gibt es 4! verschiedene 5-Zykel [mm] \Rightarrow \vektor{6 \\ 5}4!=144
[/mm]
für 3-Zykel und 3-Zykel: 3 aus 6 auswählen, also [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] möglichkeiten, die letzten 3 sind dann fest in einem anderen 3-Zykel also nur eine Möglichkeit. Für jeden der 3-Zykel gibt es 2! verschiedene anordnungsweisen um unterschiedliche Permutationen zu bekommen. Disjunkte Zykel kommutieren aber, daher noch multiplikation mit [mm] \frac{1}{2}, [/mm] das ergibt
[mm] \vektor{6 \\ 3}2!2!\frac{1}{2}
[/mm]
Ich meine meinen Fehler aber gefunden zu haben, bei 4-Zykel und 2-Zykel sollten glaube ich 90 herauskommen, die multiplikation mit [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist also zu viel. Muss ich das nur tun, wenn ich Zykel mit gleicher Länge habe ? Da komm ich noch nicht ganz dahinter!
Vielen Dank für die Hilfe.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 07.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also es ist prinzipiell immer die Gleiche vorgehensweise:
>
> für die 5-Zykel: 5 aus 6 auswählen [mm]\Rightarrow \vektor{6 \\ 5},[/mm]
> dann gibt es 4! verschiedene 5-Zykel [mm]\Rightarrow \vektor{6 \\ 5}4!=144[/mm]
>
> für 3-Zykel und 3-Zykel: 3 aus 6 auswählen, also
> [mm]\vektor{6 \\ 3}[/mm] möglichkeiten, die letzten 3 sind dann
> fest in einem anderen 3-Zykel also nur eine Möglichkeit.
> Für jeden der 3-Zykel gibt es 2! verschiedene
> anordnungsweisen um unterschiedliche Permutationen zu
> bekommen. Disjunkte Zykel kommutieren aber, daher noch
> multiplikation mit [mm]\frac{1}{2},[/mm] das ergibt
>
> [mm]\vektor{6 \\ 3}2!2!\frac{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich meine meinen Fehler aber gefunden zu haben, bei 4-Zykel
> und 2-Zykel sollten glaube ich 90 herauskommen, die
> multiplikation mit [mm]\frac{1}{2}[/mm] ist also zu viel.
Genau, zu dem Schluss bin ich auch grad gekommen.
> Muss ich das nur tun, wenn ich Zykel mit gleicher Länge habe ?
Ja.
> Da komm ich noch nicht ganz dahinter!
Also: wenn du sagen wir einen 4-Zykel und einen 2-Zykel hast, dann waehlst du ja erstmal 4 Elemente aus, und dann von den verbleibenden 2 Elemente, und multiplizierst es jeweils mit $(4 - 1)!$ und $(2 - 1)!$. Das ergibt die Anzahl der Moeglichkeiten. Durch 2 Teilen macht hier keinen Sinn!
Wenn du einen 3-Zykel und einen 3-Zykel hast, waehlst du ja auch erst drei Elemente aus, dann drei weitere, und dann multiplizierst du wieder mit $(3 - 1)!$ und $(3 - 1)!$. Allerdings ist es egal, in welcher Reihenfolge die beiden 3-Zykel genannt werden, deswegen musst du noch durch $1/2$ multiplizieren.
Ich hoffe es ist jetzt etwas klarer...
LG Felix
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