Amann Escher , Analysis 1 < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Wird hier logisch richtig geschlossen oder nicht?
(a) Wenn sich die Konsensfähigkeit des Gemeindepräsidenten nicht ändert, dann schlägt die politische Stimmung im Dörfchen Seldywyla nicht um. Wird der Gemeindepräsident aber konsensfähiger, so wird Seldwyla der Ennettaler Union beitreten. In diesem Fall wird es einen wirtschaftlichen Aufschwung geben, und im Dörfchen Seldwyla werden Milch und Honig fliessen. Wenn die politische Stimmung nicht umschlägt, droht Seldwyla hingegen eine Rezession.
Somit droht dem Dörfchen Seldwyla eine Rezession oder es werden Milch und Honig fliessen.
b) Wenn Majestix seine Pflicht nicht vernachlässigt, bereiten sich unsere wohlbekannten Gallier auf das nächste Wildschweinessen vor. Wenn er seine Pflicht vernachlässigt, herrscht ein zu geringer Lauwarme-Cervisia-Konsum. Es wird aber entweder genügend lauwarme Cervisia getrunken oder zuwenig. Letzteres ist jedoch niemals der Fall. Also vernachlässigt Majestix seine Pflicht keinesfalls.
2. "Meiers werden uns heute abend besuchen", kündigt Frau Müller an. "Die ganze Familie, also Herr und Frau Meier mit ihren drei Kindern Franziska, Kathrin und Walter?" fragt Herr Müller bestürzt. Darauf Frau Müller, die keine Gelegenheit vorübergehen lässt, ihren Mann zu logischem Denken anzuregen: "Nun, ich will es dir so erklären: Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine Frau mit. Mindestens eines der beiden Kinder Walter und Kathrin kommt. Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide. Entweder kommen Franziska und Kathrin oder beide nicht. Und wenn Walter kommt, dann auch Kathrin und Herr Meier. So, jetzt weisst du, wer uns heute abend besuchen wird."
Wer kommt und wer kommt nicht?
3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht. Die Anzahl der Bücher ist grösser als die Summe der Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches. Diese Aussagen genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus Draculas Bibliothek genau zu beschreiben. Was steht in diesem Buch? |
Hallo,
ich arbeite gerade das Buch Analysis 1 von Amann und Escher durch, nur gibt es dazu leider keine Lösungen, deswegen tue ich mir schwer, einzuschätzen, ob ich kompletten Mist produziere oder ob ich richtig liege. Da ich leider die Lösungen auch mit Googeln nicht finden konnte, werde ich die Aufgaben einfach hier reinstellen, dann findet sie ja später irgendwann Mal jemand.
1. a) hier wird nicht richtig geschlossen, weil beim logischen "Oder" auch der Fall, dass eine Rezession und dass Milch und Honig fliessen eintreten kann.
b) hier wird nicht richtig geschlossen, weil aus einer nicht wahren Aussage alles mögliche geschlossen werden kann , es steht nicht fest dass in jedem Fall der Majestetix seine Pflicht nicht vernachlässigt
2. Walter kann nicht alleine kommen (und auch nicht zusammen mit K), also kommt sicher Kathrin, wenn Kathrin kommt, dann kommt die Mama nicht, wenn die Mama nicht kommt, dann auch der Papa nicht, also bleiben nur Kathrin und Franziska
3. 0 Wörter, also nichts
Wie falsch liege ich mit meinen Antworten?
Gruss
DBb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 04.09.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bin jetzt ein bisschen faul, aber das pusht Deine Frage vielleicht... 
> 3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei
> Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht.
> Die Anzahl der Bücher ist grösser als die Summe der
> Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches. Diese Aussagen
> genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus
> Draculas Bibliothek genau zu beschreiben. Was steht in
> diesem Buch?
> 3. 0 Wörter, also nichts
Sehe ich auch so. Nehmen wir das Gegenteil an: Jedes Buch enthält
mindestens ein Wort. Dann ist die Summe der Anzahl der Wörter eines
jeden Buches [mm] $\ge$ [/mm] der Anzahl der Bücher; das ergibt sich sofort aus
dieser Annahme.
(Vielleicht kann man dahingehend auch noch eine passende injektive
Funktion definieren... Oder vielleicht zeigt man diese Behauptung auch
mit einem Induktionsbeweis, wenn man das nicht einfach so als "selbstverständlich"
dastehen lassen will...)
Dies steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Summe der
Anzahl der Wörter über alle Bücher echt kleiner ist als die Anzahl der Bücher.
Also kann nicht jedes Buch mindestens ein Wort enthalten, d.h. es gibt
mindestens ein wortfreies Buch.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mo 04.09.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> > 3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, ...
Deutsche Sprache, schwere Sprache. Ich überlege gerade, ob jeder Drilling eigentlich automatisch auch ein Zwilling ist. Also, wenn der dritte Bruder gerade nicht da ist, und man einen der beiden anderen fragt: "Bist du ein Zwilling?", muss dann die Antwort JA oder NEIN lauten?
Wie ich darauf komme: Wegen "... keine zwei Bücher ..." - Was ist, wenn drei Bücher die gleiche Anzahl von Wörtern haben?
Buch A hat ein Wort, und die Bücher B, C und D haben jeweils zwei Wörter. Dann sind es 4 Bücher und jedes Buch hat höchstens 2 Buchstaben; also wäre dann die Anzahl der Bücher größer als die Summe der Wörter jeden einzelnen Buches.
Aber - ebenso wie beim Zwillings-/Drillingsproblem - könnte man auch hier sagen, dass zwei Bücher - nämlich B und C - die gleiche Anzahl an Wörtern hat, und somit die Bedingung (keine zwei Bücher) ja gar nicht erfüllt ist.
Wie gesagt: Deutsche Sprache, schwere Sprache - und vor allem mehrdeutiger als die Sprache der Mathematik.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mo 04.09.2017 | | Autor: | Marcel |
> > > 3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei
> Bücher, ...
>
> Deutsche Sprache, schwere Sprache. Ich überlege gerade, ob
> jeder Drilling eigentlich automatisch auch ein Zwilling
> ist. Also, wenn der dritte Bruder gerade nicht da ist, und
> man einen der beiden anderen fragt: "Bist du ein
> Zwilling?", muss dann die Antwort JA oder NEIN lauten?
>
> Wie ich darauf komme: Wegen "... keine zwei Bücher ..." -
> Was ist, wenn drei Bücher die gleiche Anzahl von Wörtern
> haben?
> Buch A hat ein Wort, und die Bücher B, C und D haben
> jeweils zwei Wörter.
Ich verstehe Dein Problem gerade nicht. Aber wenn die Bücher B,C und D
jeweils zwei Wörter haben, dann gibt es zwei Bücher, die die gleiche
Anzahl von Wörtern haben:
Nämlich (bspw.) "das Büchernpaar" (B,C).
Ich sehe da keinen Widerspruch. Aber falls Du doch einen siehst, dann
hast Du hier ein wunderbares Beispiel, warum man eben solche Aufgaben
nicht "salopp" oder "in der Alltagssprache" formulieren sollte. Man kann
die obige Aussage mathematisch/logisch so formulieren, dass es
dahingehend keinen Interpretationsspielraum gibt, was sie bedeutet.
Und damit hast Du dann selbst mal gemerkt, warum so vieles in der
Mathematik eben so formuliert wird, wie es formuliert wird.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mo 04.09.2017 | | Autor: | rabilein1 |
Wäre es nicht besser / eindeutiger, anstelle von
"In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht"
zu schreiben
"In der Bibliothek des Grafen Dracula hat jedes Buch eine unterschiedliche Anzahl an Wörtern"
Haben die beiden Sätze die gleiche Bedeutung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Di 05.09.2017 | | Autor: | Marcel |
> Wäre es nicht besser / eindeutiger, anstelle von
>
> "In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei
> Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht"
>
> zu schreiben
>
> "In der Bibliothek des Grafen Dracula hat jedes Buch eine
> unterschiedliche Anzahl an Wörtern"
>
>
> Haben die beiden Sätze die gleiche Bedeutung?
Sinngemäß wohl ja. Aber mir gefällt das immer noch nicht, weil "jedes Buch"
und "unterschiedlich" dann irgendwie zusammenhanglos wirken. Vielleicht
ist es auch einfach nur die Formulierung des Satzes.
Mathematisch kann man es so ausdrücken: Wenn man aus der Menge
der Bücher der Bibliothek irgend zwei (d.h. schon, dass man zwei
unterschiedliche nimmt!) herausnimmt, dann gilt, dass die Anzahl der
Wörter des einen Buchs eine andere ist als die Anzahl der Wörter des
anderen.
Formal etwa so: Sei [mm] $B=\{b_1,...,b_n\}$ [/mm] die Menge der Bücher mit [mm] $|B|=n\,.$
[/mm]
Wenn mit [mm] $W(b_k)$ [/mm] die Anzahl der Wörter des Buches [mm] $b_k \in [/mm] B$ ($k [mm] \in \{1,...,n\}$) [/mm] bezeichnet
wird, dann gilt für alle $i,j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit $i [mm] \not=j\,:$
[/mm]
[mm] $W(b_i) \not= W(b_j)\,.$
[/mm]
Was natürlich hier "eigentlich" noch unklar ist: Was ist ein Wort? Denn
das brauchen wir, wenn wir Wörter zählen "wollen"... (Wobei, da kann
man sich fragen: Reicht es uns nicht vielleicht aus, dass die Funktion
W hier gemäß der Annahme dies ja "kann"?)
Auch da ist jetzt die Frage: Machen wir das streng mathematisch, oder
sagen wir, dass uns das aus dem Alltag heraus klar ist? Es gibt durchaus
in der Mathematik/Informatik den Begriff des Alphabets, und wie dann
damit ein Wort "definiert" ist. Das ist aber nicht unbedingt identisch mit
dem, was man im Alltag darunter versteht (ein Wort ist da eine, grob
gesagt, eine "Zusammensetzung von Buchstaben", welches gewisse
Gesetze erfüllt, und aber "eine Bedeutung" hat...)...
Man kann solche "Spielchen" halt sehr weit treiben, wenn man es denn
will... Für die Aufgabe ist das andererseits aber doch wiederum gar nicht
wirklich von Bedeutung, was ein Wort ist - man könnte auch was anderes
in den Büchern stehen haben - zum Beispiel "eine Ziffernfolge, die nur 1 enthält":
Das letzte habe ich etwas unmathematisch ausgedrückt, aber ich meine
halt:
In einem Buch kann halt entweder gar keine 1 stehen, oder 1, oder 11, oder 111, oder 1111, oder ...
(Ja, so schreibt man auch Zahlen im Dezimalsystem... )
Es kann dann hier zum Beispiel nicht sein, dass Buch A und C verschieden
sind, aber sowohl in Buch A 111 als auch in C 111 steht!
Deswegen: Viele Aufgaben sind eigentlich in der Alltagssprache gar nicht
klar formuliert, aber aus dem Kontext heraus ergibt sich, wie man sie
(bis auf "Isomorphie") klar in eine mathematische Sprache übertragen
kann, so dass sie trotzdem eindeutig, verständlich und klar lösbar sind.
(Wobei man dabei natürlich auch die "Voranalyse" so extrem machen
kann, dass die Eindeutigkeit in der Formulierung der Aufgabe vielleicht
doch nicht so selbstverständlich ist... Aber manchmal habe ich auch den
Eindruck, dass jemand die Aufgabe genau versteht, sie aber nicht
verstehen WILL, und so dann ein Argument finden will, um sich damit
nicht weiter zu befassen...)...
Gruß,
Marcel
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Tatsächlich lautet die eindeutige (und hier sicherlich gemeinte) Aussage: Die Gesamtzahl(en) der Wörter in den verschiedenen Büchern sind PAARWEISE VERSCHIEDEN.
Damit meint man, dass sie verschieden sind, wenn man sich zwei beliebige Bücher herausgreift. Also [mm] A\ne [/mm] B, [mm] B\ne [/mm] C, und - damit nicht B=C sein kann - eben auch [mm] B\ne [/mm] C usw. KEINE Anzahl kommt dann MEHR ALS EINMAL vor.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 04.09.2017 | | Autor: | Marcel |
> > > 3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei
> Bücher, ...
>
> Deutsche Sprache, schwere Sprache. Ich überlege gerade, ob
> jeder Drilling eigentlich automatisch auch ein Zwilling
> ist. Also, wenn der dritte Bruder gerade nicht da ist, und
> man einen der beiden anderen fragt: "Bist du ein
> Zwilling?", muss dann die Antwort JA oder NEIN lauten?
Das ist für mich unabhängig von der Situation: Jeder Drilling ist auch ein
Zwilling, weil er (mindestens) einen Zwillingsbruder hat.
(Definierst Du allerdings "Zwilling" mit "genau ein 'Zwillingsbruder'", dann
stimmt das nicht mehr. Insofern kann man also sagen, dass das eine
Sache ist, die von der Definition des Begriffs 'Zwilling' (und auch Drilling)
abhängt!")
In diesem (von mir gesagten) Sinne ist "Drilling" eine Spezialisierung von
"Zwilling" ...
Gruß,
Marcel
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> 1. Wird hier logisch richtig geschlossen oder nicht?
>
> (a) Wenn sich die Konsensfähigkeit des
> Gemeindepräsidenten nicht ändert, dann schlägt die
> politische Stimmung im Dörfchen Seldywyla nicht um. Wird
> der Gemeindepräsident aber konsensfähiger, so wird
> Seldwyla der Ennettaler Union beitreten. In diesem Fall
> wird es einen wirtschaftlichen Aufschwung geben, und im
> Dörfchen Seldwyla werden Milch und Honig fliessen. Wenn
> die politische Stimmung nicht umschlägt, droht Seldwyla
> hingegen eine Rezession.
>
> Somit droht dem Dörfchen Seldwyla eine Rezession oder es
> werden Milch und Honig fliessen.
>
> 1. a) hier wird nicht richtig geschlossen, weil beim
> logischen "Oder" auch der Fall, dass eine Rezession und
> dass Milch und Honig fliessen eintreten kann.
Moin,
ich meine, daß richtig geschlossen wird:
(Stimmung schlägt um oder schlägt nicht um)
==>
( (Milch und Honig ) oder Rezession).
LG Angela
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Wenn das Problem immer noch behandelt wird, tu ich auch noch mal meinen Senf dazu:
>
> (a) Wenn sich die Konsensfähigkeit des
> Gemeindepräsidenten nicht ändert, dann schlägt die
> politische Stimmung im Dörfchen Seldywyla nicht um. Wird
> der Gemeindepräsident aber konsensfähiger, so wird
> Seldwyla der Ennettaler Union beitreten. In diesem Fall
> wird es einen wirtschaftlichen Aufschwung geben, und im
> Dörfchen Seldwyla werden Milch und Honig fliessen. Wenn
> die politische Stimmung nicht umschlägt, droht Seldwyla
> hingegen eine Rezession.
>
umgeordnet:
(a) Wenn sich die Konsensfähigkeit des Gemeindepräsidenten nicht ändert, dann schlägt die politische Stimmung im Dörfchen Seldywyla nicht um. Wenn die politische Stimmung nicht umschlägt, droht Seldwyla hingegen eine Rezession.
Wird der Gemeindepräsident aber konsensfähiger, so wird
Seldwyla der Ennettaler Union beitreten. In diesem Fall wird es einen wirtschaftlichen Aufschwung geben, und im Dörfchen Seldwyla werden Milch und Honig fliessen.
Da eines von beiden eintritt:
> Somit droht dem Dörfchen Seldwyla eine Rezession oder es
> werden Milch und Honig fliessen.
>
> b) Wenn Majestix seine Pflicht nicht vernachlässigt,
> bereiten sich unsere wohlbekannten Gallier auf das nächste
> Wildschweinessen vor. Wenn er seine Pflicht
> vernachlässigt, herrscht ein zu geringer
> Lauwarme-Cervisia-Konsum. Es wird aber entweder genügend
> lauwarme Cervisia getrunken oder zuwenig. Letzteres ist
> jedoch niemals der Fall. Also vernachlässigt Majestix
> seine Pflicht keinesfalls.
Wieder umgestellt:
b)
Es wird aber entweder genügend
lauwarme Cervisia getrunken oder zuwenig. Letzteres ist
jedoch niemals der Fall. (Also wird genügend
lauwarme Cervisia getrunken.) Wenn er seine Pflicht
vernachlässigt, herrscht ein zu geringer
Lauwarme-Cervisia-Konsum. (Da das nicht der Fall ist:)
Also vernachlässigt Majestix seine Pflicht keinesfalls.
>
> 2. "Meiers werden uns heute abend besuchen", kündigt Frau
> Müller an. "Die ganze Familie, also Herr und Frau Meier
> mit ihren drei Kindern Franziska, Kathrin und Walter?"
> fragt Herr Müller bestürzt. Darauf Frau Müller, die
> keine Gelegenheit vorübergehen lässt, ihren Mann zu
> logischem Denken anzuregen: "Nun, ich will es dir so
> erklären: Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine
> Frau mit. Mindestens eines der beiden Kinder Walter und
> Kathrin kommt. Entweder kommt Frau Meier oder Franziska,
> aber nicht beide. Entweder kommen Franziska und Kathrin
> oder beide nicht. Und wenn Walter kommt, dann auch Kathrin
> und Herr Meier. So, jetzt weisst du, wer uns heute abend
> besuchen wird."
>
Umstellungen:
1. Wenn Walter kommt, dann auch Kathrin und Herr Meier. (Also kommt Katrin)
Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine Frau mit.
Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide (also kommt Franziska nicht)
Entweder kommen Franziska und Kathrin
oder beide nicht. (Das widerspricht den obigen beiden Klammeraussagen.
Somit: Walter kommt nicht.
Mindestens eines der beiden Kinder Walter und
Kathrin kommt. (Also kommt Katrin, da Walter nicht kommt)
Entweder kommen Franziska und Kathrin oder beide nicht. (Also kommt Franziska auch)
Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide (also kommt Frau Meier nicht)
Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine
Frau mit. (Also kommt auch Herr Meier nicht)
> Wer kommt und wer kommt nicht?
Es kommen nur Franziska und Katrin.
>
> 3. In der Bibliothek des Grafen Dracula gibt es keine zwei
> Bücher, deren Inhalt aus gleich vielen Wörtern besteht.
> Die Anzahl der Bücher ist grösser als die Summe der
> Anzahl der Wörter jedes einzelnen Buches. Diese Aussagen
> genügen, um den Inhalt mindestens eines Buches aus
> Draculas Bibliothek genau zu beschreiben. Was steht in
> diesem Buch?
> Hallo,
>
Es gebe k Bücher. Alle Bücher haben unterschiedliche Wörteranzahlen. Daher können wir sie der Reihe nach nach diesen Wörterzahlen geordnet aufstellen, im letzten Buch stehen die meisten Wörter, sagen wir n Stück. Dann stehen im letzten Buch weniger Wörter, als es Bücher gibt, also ist n<k.
Behauptung: Dann stehen im x-ten Buch x-1 Wörter.
Begründung:
Wir haben eine LÜCKENLOSE Folge VERSCHIEDENER Zahlen, die die Bedingungen erfüllt. Würde nun eine dieser Wörteranzahlen erhöht, müssten die nachfolgenden ebenfalls erhöht werden, und das k-te (letzte) Buch hätte mindestens k Wörter, was verboten ist. Würde eine dieser Wörteranzahlen erniedrigt, müssten die Vorgängerzahlen ebenfalls erniedrigt werden, und das 1. Buch hätte höchstens 1-2=-1 Wörter, was ebenfalls nicht möglich ist.
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